作业 设 为阶方阵,且 =,则 —————.docVIP

一 正方矩阵 1 方阵的乘幂 （1）已知，求。 （2）已知，求。 （3）已知三阶方阵的三个特征根为1，0，-1；对应的线性无关的特征向量为；求。 2 方阵的伴随矩阵 设为阶方阵，称矩阵 为的伴随矩阵。 显然有。 3 可逆方阵 设为阶方阵，若有阶方阵，使得，则称为可逆方阵。并称为之逆，记为，即 由定义及易得：为可逆方阵的充分必要条件是。 4 方阵的特征值 设为阶方阵，若有非零的矩阵与数使得，则称为的特征值。 由克莱姆法则的推论知为的特征多项式的根，故特征值也可称为的特征根。 （1）零方阵的特征值为零。 （2）。为的个特征根。 （3）若是可逆方阵的特征根，则，且是的特征根。 （4）设是方阵的特征根，是多项式，则是的特征根。 （5）设是方阵的特征根，是多项式，且，则。 （6）相似矩阵的特征多项式相同，从而特征根相同。 （7）实对称矩阵的特征根恒为实数。 5 方阵的行列式 （以下设均为n阶方阵，为阶方阵，为矩阵，为矩阵，是的伴随矩阵， 是的转置矩阵；是数。） （1） （2*） （3） （4） （5） 。 （6）若是可逆方阵，则 例题 （1） 已知A为3阶方阵， 且，则。 （2） 已知A为3阶方阵，，则 （3） 已知满足条件，且为三个相等的正数，则，。 （4） 若4阶方阵，的特征根为。则 （5） 设为3阶实对称矩阵，且满足条件， 则 作 业 四 1 设为3阶方阵，且=2，则—————。 2 设为3阶方阵，满足条件，则 3 设都是n阶方阵，且可逆。则（ ）。 ； ； ； 。 4 设是n阶可逆方阵，则=（ ）。 1； ； ； 。 5 设是n阶可逆方阵，则=（ ）。 ； ； ； 。 6 设3阶方阵，的特征根为。求 7 设为3阶实对称矩阵，且满足条件， 求。 8 设为3阶方阵，且，求。 9 求下列矩阵的幂 （1） （2）。 10 计算行列式 。 提示：设 ，先计算乘积。 证明奇数阶反对称矩阵必有零特征根。 提示：满足条件的方阵称为反对称矩阵。先利用行列式的性质证明奇数阶反对称矩阵的行列式的值为零。 12* 证明实的??对称矩阵的非零特征根必为纯虚数。提示：证明 13* 证明正交矩阵的特征根的模必为1。提示：实的且满足的方阵称为正交矩阵。证明。