例谈两角和正切公式的“用”.docVIP

例谈两角和正切公式的“四用” 两角和正切公式为tan(＋)＝(，， + ≠k＋)，它是解决正切函数问题的基本公式，应用非常广泛，下面举例说明． 一 正用 指正向运用公式，用于求正切的两角和或可转化为求两角和问题． 例1 已知tan＝，tan＝－2，0°＜＜90°，90°＜＜180°，求＋的值． 分析 解此类题的一般步骤是：⑴求出＋的某一三角函数值；⑵确定＋所在范围．由于已知条件给出是正切，故可优先考虑用正切的和角公式． 解：由tan＝，tan＝－2，得 tan(＋)＝＝＝－1， 又0°＜＜90°，90°＜＜180°， ∴ 90°＜＋＜270°． 而在90°与270°之间只有135°的正切值等于－1， ∴ ＋＝135°． 评注：应注意＋所在范围，否则易产生误解． 二 逆用 例2 ⑴计算的值． ⑵ 计算的值． 分析：从所求式的结构，可考虑逆用公式． 解：⑴逆用公式，得 ＝tan(53°＋7°)＝tan60°＝． ⑵∵1＝tan45°， ∴ ＝＝tan(45°＋75??)＝tan120°＝－． 评注：逆用公式是指从右往左用公式，即单角往复角转化．往往伴随着常数三角化的运用，如1= tan45°等，特别是解决“”型问题． 三 变用 由题目中出现tan＋tan与tantan结构，可变用两角和的正切公式：tan＋tan＝tan(＋)(1－tantan)． 例3　求的值． 分析：题目中出现了与，因此考虑用两角差的正切公式变形形式求解． 解：原式． 评注：一股地，题目中若出现和，通常利用两角和与差的正切公式的变形式解决问题． 四 活用 例4 已知非零实数a，b满足＝tan，求的值． 分析：由＝，联想到两角和的正切公式，便有以下解法． 解：由题设，得＝tan，令＝tan，则 ＝tan， 即tan＝＝tan＝． 故＝． 评注：在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可活用两角和的代换，就能使比较隐蔽关系显现出来，从而实现难题巧解．