例谈以平面向量背景的高中考试题.docVIP

例谈以平面向量背景的高考试题 平面向量进入中学教材，为使用代数方法研究问题提供了强有力的工具，高中几何改革的趋势是几何问题代数化，向量具有“双重身份”，可以象数一样满足“运算性质”进行代数形式的运算，又可以利用它的几何意义进行几何形式的变换。正是由于“双重身份”使它成为知识的交汇点，成为联系多种知识的媒介。 纵观五年与平面向量有关的试题，可以发现：客观题考查平面向量的基础知识；主观题则是以平面向量知识为背景，与三角函数、数列、三角形、解析几何知识相结合的综合性问题。题目对基础知识和技能的考查一般由浅入深，入手并不难，但要圆满解决，则需要严密的逻辑推理。 1、平面向量内部的整合 以平面向量内部知识的小综合性试题在高考试卷中屡见不鲜，这类问题主要是突出向量的加减运算、模、夹角等问题，题目体现了小、巧、活的特点，但试题的难度中档偏下。 例1：（2003年全国（江苏·天津卷）高考题第5题），O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（ ） A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心 思路分析：此题关键是理解：、均单位向量，它们的和是以这两条单位向量为一组邻边构成的菱形对角线。 解：、均为单位向量、其方向分别与、同向。由加法的几何意义知：对应一个平行四边形AMQN的对角线。又，AMQN是菱形，AQ是的角平分线。又原式点P在的角平分线上，P的轨迹必过的内心，故选B。 解题回顾：本题是平面几何与平面向量整合的能力型小题，解决问题的方法主要是灵活运用平面向量的加法运算及几何意义，实数与向量的积的运算等等。从阅卷情况来看学生的失分率极高，大大超出命题者的意料，学生之所以失分，主要的原因是对向量的运算缺乏理解，特别是几何意义的理解与运用是欠缺的。所以我们应该强调让学生进行一些向量的几何运算，积累一些典型的图形结论，以便帮助他们打开解题的思路。 2、平面向量与数列的整合 数列的通项公式与前n项和分别是关于的一次函数和二次函数类型，它们都可以用二维量来刻划；向量的数量积是实数，这样就与平面向量进行有机的结合，可以编拟一些优秀的试题。 例2：（2002年全国（天津·江西·山西）高考第21题）已知两点，有点P使，，成公差小于零的等差数列。（Ⅰ）点P的轨迹是什么？（Ⅱ）若点P的坐标是，为与的夹角，求。 思路分析：设P点坐标为，要求P点的轨迹方程，就是要寻找点P横坐标与纵坐标的关系式，只要能正确运用向量的坐标运算将给出的三组“两个向量的数量积”成等差数列这一题设条件用、之间的关系式表达出来，并注意公差小于零这一条件，就不难求出P点的轨迹，根据向量的数量积公式及同角三角函数关系方可求出。 解：（Ⅰ）设点P的坐标为，，，， ，。，，成等差数列，且公差小于零。 ， ，点P的轨迹是以原点为圆 ， 。 心，以为半径的图在右侧的一部分。 （Ⅱ）P点的坐标为，是与的夹角，，。由数量积定义知：。又， 。 。 解题回顾：本题依托平面直角坐标系，考查向量的坐标运算及向量的数量积、等差数列、轨迹方程、三角函数求值等基础知识。该题难度不大，但从阅卷情况看，考生答题并不理想。究其原因：一是对平面向量的基础知识掌握不熟练；二是当前考生对这类综合性问题较为陌生。2002年的这高考试题是在向量与数列、轨迹知识网络交汇处的一道优秀试题。 3、平面向量与三角函数整合 将三角函数变换与平面 向量的数量积进行有机结合。不仅考查三角变换而且深化了向量的运算，同时也拓宽了三角与向量的命题范围。 例3：（2004年全国（福建卷）高考第17题）设函数，其中向量，。（Ⅰ）若且，求；（Ⅱ）若函数的图象按向量平移后得到函数的图象，求实数、的值。 思路分析：利用向量数量积的坐标运算，求出的解析式，继而建立关于的方程，根据三角函数的性质求出，对于第（Ⅱ）题，利用比较法求解，因为两函数为同一函数，只需在m的允许范围内对应项系数相等即可。 解：（Ⅰ）依题设，。由，得。， ，，即。 （Ⅱ）函数的图象按向量平移后得到函数的图象，即函数的图象。由（Ⅰ）得。。 解题回顾：本题以向量为载体主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变形及图象变换的基本技能，考查学生的运算能力。第（Ⅰ）题学生易错误写成；（Ⅱ）题易错点是或等等。这说明学生没有弄清图形平移的本质。 4、平面向量与平面几何整合 把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决。 例4：（2004年全国（湖北卷）高考题第19题）如图，在中，已知，若长为2a 的线段PQ以点A为中点，问与的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值。 思路分析：建立适当的直角坐标系，设出P、Q