例谈因式分解的方法与技巧.docVIP

PAGE  －  PAGE 6 － 例谈因式分解的方法与技巧 因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形，是处理数学问题重要的手段和工具，也是中考和数学竞赛试题中比较常见的题型。对于特殊的因式分解，除了掌握提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等基本方法外，还应根据多项式的具体结构特征，灵活选用一些特殊的方法和技巧。这样不仅可使问题化难为易，化繁为简，复杂问题迎刃而解，而且有助于培养同学们的探索求新的学习习惯，提高同学们的数学思维能力。现将因式分解中几种比较常用的方法与技巧例举如下,供同学们参考: 一、巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。 例1、因式分解 解析：根据多项式的特点，把3拆成4+（-1）， 则= = 例2、因式分??? 解析：根据多项式的特点,把拆成；把拆成 则= = 二、巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。 例3、因式分解 解析：根据多项式的特点,在中添上两项， 则= = 例4、因式分解 解析：根据多项式的特点，将拆成，再添上两项，则 = = = 三、巧换元：在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分解的多项式，会使问题化繁为简，迅捷获解。 例5、因式分解 解析：= = 设，则 于是，原式= = 例6、因式分解 解析：设，则 = = = 四、展开巧组合：若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可采取展开重组合，然后再用基本方法分解，可谓匠心独具，使问题巧妙得解。 例7、因式分解 解析：将多项式展开再重新组合，分组分解 = = 例8、因式分解 解析：= = = 五、巧用主元：对于含有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，常以其中一个字母为主元进行变形整理，可使问题柳暗花明，别有洞天。 例9、因式分解 解析：将多项式以为主元，进行整理 = = 例10、因式分解 解析：这是一个轮换对称多项式，不妨以为主元进行整理 = = = = 从以上几例可以看出，因式分解题型众多，方法灵活，有较强的技巧性。若能根据多项式具体的结构特征，选用恰当的方法与技巧，不仅可以化难为易，迅速求解，而且有助于培养同学们的创新思维，有效地激发同学们的学习兴趣。 学完因式分解应具有四种意识 一、优先意识 按因式分解的一般步骤和思考程序，要树立优先提多项式公因式的意识 例1．分解因式： 解：原式= 二、换元意识 通过换元，可以达到化繁为简、化难为易的目的 例2．分解因式： 解：原式= 三、完整意识 依分解因式的步骤，因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止 例3．分解因式： 四、应用意识 例4．生产一批高为２００mm的圆柱形容器，底面半径的合格尺寸为（）mm，任取两个这样的产品，它们的容积最多相差多少（取３.１４）？ 解：最大容积差＝最大容积－最小容积＝２００ ． 说明：本题为实际应用型问题，上述计算灵活运用了“提公因式法”和“平方差公式”． 因式分解中的数学思想 众所周知，数学思想是我们数学解题的灵魂，因式分解也不例外，在因式分解过程中也蕴含着许多的数学思想，如果能灵活的加以运用，往往能更好地解决因式分解问题，下面就因式分解中的常见的思想方法举例说明： 一、整体思想　 所谓用整体思想来分解因式，就是将要分解的多项式中的某些项看成一个整体而加以分解. 例1　把多项式(x2－1)2+6(1－x2)+9分解因式. 　　分析　把(x2－1)看成一个整体利用完全平方公式进行分解，最后再利用平方差公式达到分解彻底的目的 解　(x2－1)2+6(1－x2)+9＝(x2－1)2－6(x2-1)+9 ＝[(x2－1)－3]2＝(x2－4)2＝[(x+2)(x－2)]2＝(x+2)2(x-2)2. 例2　把多项式(a +b)2－4(a +b－1)分解因式. 分析　原式两项既无公因式可提，又无公式可套用，但由此结构特点可采取视a+b为一个整体，局部展开后或许能运用完全平方公式. 解　(a +b)2－4(a +b－1)＝(a +b)2－4(a+b)+4＝(a+b－1)2. 二、类比思想 类比思想地因式分解中的运用很广泛，具体地表现在：一是因式分解与整式乘法的对比；二是因式分解与乘法的分配律的对比；三是因式分解与乘法公式的对比. 例3　把多项式6x3y 2+12x2y3－6x2y2分解因式. 分析　对比整式的乘法和乘法的分配律可知，6、12、6的最大公约数是6，字母x、y最低指数均为2，所以多项式6x3y2+12x2y3－6x2y2的公因式是6x2y2. 解　6x3y2+12x2y3－6x2y2＝6x2