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保险投资理论 ―――――资产定价 金融经济学的基本问题是在不确定市场环境下对金融资产定价。这一问题可表达为：已经知道一种金融资产的未来各种可能价格，要问当前的价格是多少。 如何解决这一问题？一种朴素的想法就是：估计未来价值的各种可能性，然后计算其均值，并以这一均值作为它的估值。而金融经济学的发展却运用无套利假设来定价。 1　线性定价法则 线性定价法则是一种较低的无套利定价。 1.1 无不确定性的无套利定价法则 假定只有“当前”和“未来”两个时刻。证券市场可看成是由种基本证券及其各种组合所组成的集合。种基本证券的未来价格可用一个维列向量表示，其中。 证券投资行为可由一个维行向量来表示，这里表示买入第种证券的数量。假设是实数。这样的维向量经常称为投资组合或者投资策略。证券组合的全体就是一个实数域上的维向量空间。 所以，证券市场可记为：。 由于每一种证券在未来的价格是已知的，所以一个投资策略的未来价值就被合理地假定为行向量和列向量的乘积，即。 定价问题就是要对这个维向量空间中的每一个向量给出一个实数来作为它的当前价格。无套利假设就是对这种定价定出若干法则。 无不确定的无套利假设定价的五个层次： 可定价法则 存在定价函数。 可解释为未来价值一样的组合，当前应该有一样的定价。 正齐次定价法则 是正齐次函数，即对于任何正实数和实数，有。 可解释为组合的若干倍的当前价值应该等于该组合的当前价值的同样倍数。 齐次定价法则 是齐次函数，即对于任何实数和实数，有。 可解释为组合的买价和卖价应该一致。 线性定价法则 是线性函数，即对于任何实数和任何实数，有。此时，其中是任意实数。 可解释为组合的当前价值应该等于其组合成分的当前价值之和。 正线性定价法则 是正线性函数，即是线性函数，并且当时，。此时，其中是正实数。 可解释为未来值钱（价值为正）的组合，当前也值钱。 证券组合的收益率可定义为：，其中证券的收益率为。 定理1 设为证券市场，其定价函数为非零线性函数，既线性定价法则成立。那么任何（非零无风险证券组合的）收益率都相等，有 。 1.2 带不确定的无套利假设定价法则 仍假设模型中有种证券这些证券的未来价格可能都是不确定的。证券的未来不确定价格用概率论中的随机变量来描述。 投资策略也仍然是一个维行向量，其分量可以是确定的量，也可以是随机变量。这里只考虑确定的量。 证券市场仍然可以表示为，但是这里的将是一个维随机向量。 投资组合的未来价值将是与随机向量的乘积，这个数值将是一个随机变量，它反映组合的未来价值的不确定性。 证券市场中的组合的未来随机价格所形成的随机变量全体，不妨称为可交易的未定权益，即 。 1.2.1 二期证券市场的基本模型 一个证券市场中的未定权益空间，是指随机变量所形成的一个（实）向量空间。“基本证券”则是指这个未定权益空间的一个集合。而“可交易的未定权益”则是指它是某些基本证券的线性组合。在这个框架中，基本证券可以是无限的。 1.2.2 线性定价法则 如果线性定价法则成立，而“基本证券”又都可以定价，并且符合线性定价法则，那么所有可交易的未定权益也都可以唯一定价。 如果可交易的未定权益的全体就是整个未定权益空间，那么所有未定权益都可以唯一定价。这时，就称该市场是完全市场，否则为不完全市场。 在这个框架中，不完全市场中的未定权益定价问题就变为怎样把“可交易的未定权益空间”中的定价函数扩充到整个未定价权益空间中去。在数学上，它可表达为；一个小向量空间中的线性函数怎样扩充到一个包含它的大向量空间中去。这时，线性定价法则对于不完全市场的未定权益问题来说是不够的。而正线性定价法则就能给出更合理的解释。 这里，进一步假设：未定权益随机变量的方差有限。在这一假定下，我们可以在未定权益向量空间，引进新的数学结构：对于任何，定义它们的内积为的二阶矩。那么它就形成一个内积空间。我们进一步假定，这个内积空间是完备的，即它是一个希尔伯特空间。 内积的好处就是引入一个数学结构，使向量空间有了角度的概念。而对于金融经济学来说，当我们用证券（或更一般的未定权益）的（随机）收益率的方差来刻画该证券的收益风险时，这样的内积就可用来刻画不同证券之间的风险之间的相互关系：是“同步前进”还是“互相抑制”，或者“毫不相干”，它们刚好表现为风险项内积的正、负或零。 “未定权益空间是Hibert空间”这一假设在未定权益空间是由有限个基本证券生成时一定成立。在无限维的未定权益空间，要求线性定价函数是连续的。 基本假设： 未定权益空间是一些方差有限的随机变量形成的向量空间。 如果对于任何，定义它们的内积为，那么是Hibert空间。 定价函数为非零线性连续函数。 1.2.3 随机折现因子 定理2 (随机折现因子存在定理) 在上述基本假设下，存在唯一的非零，使得对于任何，有。 1.