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现代数字信号处理：第五章 列文森递归算法
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第五章 列文森递归算法
§5.1 引言
第四章中已看到，很多种信号建模问题都需要求解如下形式的线性方程组：
(5.1)
其中是Toeplitz矩阵。例如在Pade逼近法中，估计由矢量所表示的分母系数就是求解象式(5.1)的一组Toeplitz方程，其中是一个非对称的Toeplitz矩阵，其第一列是信号值，第一行是，另外矢量由信号值组成，因此与矩阵的元素值密切相关。ARMA过程建模中的修正Yule-Walker方程也是这一类的线性方程组。在用Prony法或自相关法对确定性信号进行全极点建模，以及用Yule-Walker法对随机过程的全极点建模中，都要遇到Toeplitz方程。但与Pade逼近时不同，这时的是自相关值的哈密顿Toeplitz矩阵。另外，由于这时的，式(5.1)右边矢量还是与Toeplitz矩阵的元素值密切相关。在求解分子系数的Shanks法中，又会遇到一组哈密顿Toeplitz方程，但与前面不同的是这时的矢量中不含有矩阵的元素值。在第七章的FIR维纳滤波器设计中，还要遇到Toeplitz方程，与Shanks法中一样，其是哈密顿Toeplitz的，但的取值与的值无关。
由于在很多问题中求解Toeplitz方程的重要性，本章介绍求解这类方程的有效算法。在导出这些算法的过程中，我们将发现这类方程的解的一系列有趣的性质，由此可进一步获得信号建模的其它方法。在§5.2节，我们首先导出Levinson-Durbin递归算法，该算法可用于求解Prony全极点正则方程和自相关正则方程。Levinson-Durbin递归将导致几个重要的结果，包括格型滤波器结构、数字滤波器的Schur-Cohn稳定性测试、Toeplitz矩阵的Cholesky分解，以及Toeplitz矩阵的递归求逆。§5.3节介绍求解一般的哈密顿Toeplitz方程的Levinson递归方法，注意这时对矢量没有约束。该算法可用在Shanks法中，也可用于求解第七章中的一般FIR维纳滤波问题。§5.4节将导出分基Levinson递归算法，它比Levinson-Durbin递归的效率要稍高些，并引入了奇异预测器多项式和线谱对的思想，它们在语音处理应用中很有用。
§5.2 Levinson-Durbin递归
1947年Levinson给出了求解一般的线性对称Toeplitz方程组的递归算法。在一个有关维纳线性预测问题的评注论文中，Levinson称该算法是一个“数学上平凡的过程”[16]，但是，这一递归算法导致了若干重要的发现，其中包括格型滤波器结构，它在语音处理、谱估计、数字滤波器实现中获得了广泛的应用。后来在1961年，Durbin针对方程右边是单位矢量的特例改进了Levinson递归算法[7]，本节我们就介绍该算法，称为Levinson-Durbin递归。另外，将给出该递归的一些性质，说明它如何导致格型滤波器结构，并证明由自相关法所导出的全极点模型是稳定的。
5.2.1 递归式的推导
用Prony法或自相关法进行全极点建模时，要求解正则方程，对阶模型，方程为：
; (5.2)
而建模误差为：
(5.3)
将上面两个方程组合成矩阵，应有：
(5.4)
它有个线性方程，也有个未知量，即和。上式的等效矩阵形式为：
(5.5)
其中是的哈密顿Toeplitz矩阵，是单位矢量。对实值数据，将是对称Toeplitz矩阵。
求解方程(5.5)的Levinson-Durbin递归是一个按模型阶递归的算法，换言之，阶全极点模型的系数是由第阶模型的系数而获得。因此，我们首先说明如何由阶正则方程的解导出阶正则方程的解。设是如下的正则方程的解：
(5.6)
方程的矩阵形式为：
(5.7)
给定，我们要导出如下的阶正则方程的解：
(5.8)
推导过程如下。假定我们将矢量补一个零，并用左乘新矢量，则结果应为：
(5.9)
其中参数为：
(5.10)
注意若,则(5.9)式右边是一个维单位矢量,且是(j+1)阶正则方程(5.8)的解。但通常，不是方程(5.8)的解。
推导Levinson-Durbin递归的关键步骤是利用的哈密顿Toeplitz特性，使得可将式(5.9)写成如下的等效形式：
(5.11)
取式(5.11)的复数共轭并将所得方程
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