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第一章 导数及应用 函数的平均变化率 1.一般地,给出函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率 为。 例1、已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率： （1）[1，3]； （2）[1，2]； 瞬时变化率—导数 1、曲线上一点处的切线斜率 不妨设P(x1，f(x1))，Q(x0，f(x0))，则割线PQ的斜率为， 设x1－x0=△x，则x1 =△x＋x0， ∴ 当点P沿着曲线向点Q无限靠近时，割线PQ的斜率就会无限逼近点Q处切线斜率，即当△x无限趋近于0时，无限趋近点Q处切线斜率。 2、曲线上任一点(x0，f(x0))切线斜率的求法： ，当△x无限趋近于0时，k值即为(x0，f(x0))处切线的斜率。 数学应用 例1、已知f(x)=x2，求曲线在x=2处的切线的斜率。 变式：.求过点(1,1)的切线方程 导数的概念 练习 注 意 常见函数的导数 1、基本初等函数的求导公式： ⑴ (k,b为常数) ⑵ (C为常数) ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ 由⑶~⑹你能发现什么规律? ⑻ （为常数） ⑼ ⑽ ⑾ ⑿ ⒀ ⒁ （我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。） 例1、求下列函数导数。 （1）　 （2）　　 （3）　 （4）y=sin(+x) (5) y=sin （6）y=cos(2π－x)　 例2：点P在函数y=cosx上，（0≤x≤2π），在P处的切线斜率大于0，求点P的横坐标的取值范围。 例3.若直线为函数图象的切线,求b的值和切点坐标. 变式1.求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程. 变式2:求曲线y=x3过点(1,1)的切线方程 变式3:已知直线,点P为y=x2上任意一点,求P在什么位置时到直线距离最短. 函数的和、差、积、商的导数 法则1 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)，即 法则2常数与函数的积的导数，等于常数与函数的积的导数． 法则3两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即 法则4 两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即 例1 求y=x2+sinx的导数. 2、求的导数． 3、求下列函数的导数　⑴ 　⑵ 4、y=5x10sinx－2cosx－9，求y′ 5、求y=的导数. 变式：(1)求y=在点x=3处的导数. (2) 求y=·cosx的导数. 例2求y=tanx的导数. 变式：已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图象过点P(0,2)，且在点M处(-1，f(-1))处的切线方程为6x-y+7=0，求函数的解析式 练习： 1.求下列函数的导数：(1)y= (2)y= (3)y= 导数的应用 1. 函数的导数与函数的单调性的关系： 我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数的图像 可以看到： y=f(x)=x2－4x+3切线的斜率f′(x)(2，+∞)增函数正＞0(－∞，2)减函数负＜0 在区间（2，＋∞）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即0时，函数y=f(x) 在区间（2，＋∞）内为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即0时，函数y=f(x) 在区间（－∞，2）内为减函数. 定义：一般地，设函数y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内0，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数 2.用导数求函数单调区间的步骤： ①求函数f(x)的导数f′(x). ②令f′(x)＞0解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令f′(x)＜0解不等式，得x的范围，就是递减区间. 例1确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，　哪个区间内是减函数. 解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2. 令2x