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PAGE  PAGE 74 偏微分方程 偏微分方程是一个非常广泛的课题，它包含分析的许多方面内容。就我们现在的知识水平来说，我们只了解很少一点东西。从十八世纪初开始，人们就开始结合物理、力学问题来研究偏微分方程，最早研究的几个方程是弦振动方程、热传导方程及调和方程，这部分理论已经被彻底地研究了，而且近乎完备，把它们称为偏微分方程的古典理论。 十八世纪后期在连续介质力学中研究流体的运动规律，在考虑流体的粘性时，描述运动规律的方程称为Navier-Stokes方程组，而在不计流体的粘性时，称为Euler方程组。在此时期，描述弹性体运动规律的方程称为Saint Venant方程组。到了十九、二十世纪，人们发现了描述电磁场运动规律的Maxwell方程组，描述微观粒子运动规律的Schrodinger方程及Dirac方程组，广义相对论中确定引力场的基本方程Einstein方程以及基本粒子规范场理论的基本方程Yang-Mills方程，在微分几何中研究极小曲面的极小曲面方程等等。随着科学理论变得复杂，所提出的偏微分方程就愈多而且更加变化多端，可能出现的偏微分方程和方程组类型之多是出于想象的。 我们的目的是介绍现代偏微分方程理论中用到的一些技巧和方法。众所周知，一本偏微分方程的书只能包括已有的基本材料的一小部分，因此我们必须作出选择，如何选择不是立足于逻辑基础上的，这种选择的主观性是相当明显的。 偏微分方程的内容是研究偏微分方程解的各种性质。通常考虑以下问题 1．对单个方程或方程组，应配以怎样的初值条件与边值条件使之具有解，这是解的存在性问题。在研究解的存在性时，要明确解赖以存在的函数类。 2．解的唯一性或究竟有几个解，要明确使解为唯一的函数类。 3．解的正则性或光滑性。是否为古典解、强解还是弱解？解具有几阶可微性？ 4．解的连续依赖性，必须明确是什么空间、什么范数实现的。通常考虑的是解关于初、边值或关于方程系数，或在方程为线性时关于自由项的连续依赖性。 5．定解区域与影响区域。 6．解的间断线、激波线和激波面。 7．极值原理。 8．其它性质。 9．解如何逼近？如何计算？这属于微分方程与计算数学的边缘分支。 偏微分方程研究的重点是解的存在唯一性和正则性，这是最基本的内容。 从偏微分方程的发展来看，最初人们试图用研究常微分方程的一套方法来研究偏微分方程。简单的常微分方程总能通过积分来求得通解，复杂一些的常微分方程虽然不能简易地求得通解，但通解总是存在的。对于带有初、边值条件的特解，可把条件代入通解中，决定出通解中任意常数而得到。上述方法能否搬到偏微分方程的求解过程中去。简单的偏微分方程可以求得通解，如的通解为，为任意函数。用这样的通解来定出满足初、边值条件的特解还是比较便于应用的。一阶偏微分方程能套用常微分方程求通解再定特解的方法。线性一阶方程用特征线解法，非线性一阶方程用特征带解法以及Hamilton-Jacobi方法, 所以一阶偏微分方程的解法，常附在常微分方程的最后。高阶方程开始也是按通解的想法研究。代表性的成果是Cauchy-Kovaleskaya定理，就二阶方程 来说结果是：当均为解析函数时，这个问题有一解析解。这是一个类似于通解的解，结果是十分一般的，但用处不大。 以后发展到分型研究，我们主要介绍典型的二阶方程，即椭圆、双曲、抛物型线方程，这方面的研究是很深入的，可以说是已经基本成熟了。设自变量为，未知函数为，则关于的偏微分方程的一般形式是 其中是其变元的已知函数，简记的一阶偏导数 ， 而一般地简记的阶偏导数 为整数） 在偏微分方程中所含未知函数的偏导数的最高阶数，称为偏微分方程的阶。如果在一个偏微分方程（组）中，所有的未知函数及其一切偏导数都是线性地出现的，则称这个偏微分方程（组）为线性偏微分方程（组），否则称为非线性偏微分方程（组）。如果所考察的非线性偏微分方程（组）对未知函数的一切最高阶偏导数是线性的，则称其为拟线性偏微分方程（组）。对于拟线性方程（组），其含有未知函数的一切最高阶偏导数的部分，即主部，除了可能依赖于自变量外，还可能依赖于未知函数及其较低阶的偏导数。特别，若这些系数只是自变数的函数，而和未知函数及其偏导数无关，则称此偏微分方程（组）为半线性偏微分方程（组）。对二阶线性偏微分方程 其中，及是维空间的某区域中的函数，不同时为零，且不失一般性可设. 引入二次型 若在区域中的一点，二次型为正定或负定，则称方程在点为椭圆型；若二次型在点为退化，且其特征值只有一个为零，而其余特征值有同一符号，则称方程在点为抛物型；若二次型在点不退化，又不为正定或负定，且有个特征值具有同一符