傅里叶级数课程及习题解_.docVIP

第15章 傅里叶级数. §15.1 傅里叶级数 一　基本内容 一、傅里叶级数 在幂级数讨论中，可视为经函数系 线性表出而得．不妨称为基，则不同的基就有不同的级数．今用三角函数系作为基，就得到傅里叶级数． 1 三角函数系 函数列称为三角函数系．其有下面两个重要性质． (1) 周期性 每一个函数都是以为周期的周期函数； (2) 正交性 任意两个不同函数的积在上的积分等于 零，任意一个函数的平方在上的积分不等于零． 对于一个在可积的函数系，定义两个函数的内积为， 如果，则称函数系为正交系． 由于 ； ； ； ； ， 所以三角函数系在上具有正交性，故称为正交系． 利用三角函数系构成的级数 称为三角级数，其中为常数 2 以为周期的傅里叶级数 定义1 设函数在上可积， ； ， 称为函数的傅里叶系数，而三角级数 称为的傅里叶级数，记作 ～． 这里之所以不用等??，是因为函数按定义1所得系数而获得的傅里叶级数并不知其是否收敛于． 二、傅里叶级数收敛定理 定理1 若以为周期的函数在上按段光滑，则 ， 其中为的傅里叶系数． 定义2 如果，则称在上光滑．若 存在； ，存在，  且至多存在有限个点的左、右极限不相等，则称在上按段光滑． 几何解释如图． 按段光滑函数图象是由有限条 光滑曲线段组成，它至多有有限个 第一类间断点与角点． 推论 如果是以为周期的连续函数，且在上按 段光滑，则， 有 ． 定义3 设在上有定义，函数 称为的周期延拓． 二　习题解答 1 在指定区间内把下列函数展开为傅里叶级数 (1) ； 解：、，作周期延拓的图象如下． 其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得　 ． 当时， ， ， 所以　，为所求． 、，作周期延拓的图象如下． 其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得　 ． 当时， ， ， 所以　，为所求． (2) ； 解：、，作周期延拓的图象如下． 其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得　 ． 当时， ， ， 所以　，为所求． 解：、，作周期延拓的图象如下． 其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得　 ． 当时， ， ， 所以，为所求． (3) ． 解：函数，作周期延拓的图象如下． 其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得　 ． 当时， 所以 ，为所求． 2 设是以为周期的可积函数，证明对任何实数，有 ， ． 证：因为，，都是以为周期的可积函数，所以令有 ． 从而 ． 同理可得 ． 3 把函数展开成傅里叶级数，并由它推出(1) ； (2) ； (3) ． 解：函数，作周期延拓的图象如下． 其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得　 ． 当时， ． ， 故为所求． (1) 取，则； (2) 由得 ， 于是； (3) 取，则， 所以． 4 设函数满足条件，问此函数在内的傅里叶级数具有什么特性． 解：因为满足条件， 所以，即是以为周期的函数． 于是由系数公式得 ． 当时， ． ， 故当时，函数在内的傅里叶级数的特性是，． 5 设函数满足条件：，问此函数在内的傅里叶级数具有什么特性． 解：因为满足条件， 所以，即是以为周期的函数．于是由系数公式得 ． 当时， ． ， 故当时，函数在内的傅里叶级数的特性是，． 6 试证函数系和都是上的正交函数系，但他们合起来的却不是上的正交函数系． 证：就函数系， 因为，， ， 又； ，时， ． 所以在上是正交系． 就函数系， 因为， ， 又，时， ． 所以在上是正交系． 但不是 上的正交系． 实因：． 7 求下列函数的傅里叶级数展开式 (1) ； 解：作周期延拓的图象如下． 其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得　 ． 当时， ， ， 所以，为所求． (2) ； 解：作周期延拓的图象如下． 其按段光滑，故可展开为傅里叶级数． 因为， 所以由系数公式得　 ． 当时， ． ． 所以，． 而时，， 故，为所求． (3) ； 解：由系数公式得　 ． 当时， ， ， 故 为所求． 由系数公式得　 ． 当时， ， ， 故 为所求． (4) ； 解：由系数公式得　 ． 当时， ， 所以． ， 所以， 故， 为所求． (5) ． 解：由系数公式得　 ． 当时，． ， 所以， 故， 为所求． 8 求函数的傅里叶级数展开式并应用它推出． 解：由 得 ，． 而， 故由收敛定理得 ． 9 设为上光滑函数，．且为的傅里叶系数，为的导函数的傅里叶系数．证明． 证：因为为上光滑函数，所以为上的连续函数，故可积． 由系数公式得 ． 当时， ． 故结论成立． 10 证明：若三角级数中的系数满足关系，为常数，则上述三角级数收敛，且其和函数具有连续的导函数． 证：设，，． 则，在上连续，且 ，亦