元次不等式的求解.docVIP

案例 PAGE  第  PAGE 5 页 共  NUMPAGES 5 页 一元二次不等式的求解 221300 江苏省运河中学 顾亚东 《普通高中数学课程标准(实验)》[1]指出：“不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数学研究的重要内容，建立不等观念、处理不等与处理等量问题是同样重要的．”而处理不等关系的核心内容之一就是不等式的求解，其中的“重中之重”则是一元二次不等式的求解，且该内容是是集合、初等函数的图像与性质应用的延伸，是解决三角函数、平面向量、直线、圆、圆锥曲线、数列、导数应用的大量问题的得力工具，是优化学生的思维品质、提高数学综合素质、发展数学能力的必经途径，因此本节课在整个高中数学中处于非常突出的位置． 一、设计意图 1．完善学生的认知能力与知识结构，实现函数、方程、不等式三位一体的知识体系的构建，使学??的思维得到实质性的升华，正如文[1]所说：“使学生通过图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系、充分领悟数形结合的思想方法”．学生在初中虽然已初步渗透了函数、方程的思想，但系统性与整体观不强，知识与技能显得支离破碎，需要将零散的知识与技能组建成一个完整的体系，这是高中学生的思维从蒙昧到觉醒、从幼稚到成熟不可或缺的一环． 2．本节课的难度不算大，如果让学生阅读自学，似乎也能完成任务，但我们不能照本宣科，而应贯彻新的数学课程理念，引领学生进行探索研究式学习，在探究中体验数学、感悟数学、树立数学观念、认识数学的本质与威力、魅力，激发学习数学的情趣． 3．除数形结合的思想方法外，本节课还要担负着转化即化归这一重要数学思想的树立、深化、熟练应用的功能．化归就是将复杂的转化为简单的，将深奥的转化为浅显的，将模糊的转化为清晰的，将抽象的转化为具体的，是攻克所谓“难题”的最重要的思想武器． 4．基于以下考虑：教材内容比较浅显，初中学生没有学习过“十字相乘法”，涉及一元二次不等式的高中数学问题又特别多，如果刻意避开“十字相乘法”，那么每遇一元二次不等式的求解，都要引进函数、画出函数的图像、借助于方程的根，不符合数学简约美的原则，所以此时适当要求学生掌握一些简单的二次三项式分解的“十字相乘法”是可行的，也是必要的，是提高解题效率的善举． 二、教学过程（整个过程用多媒体动画展示） 2 图1 x f(x) l O T(指教师)：请作出函数f(x)=x－2的图像． S(指学生，板演，多媒体演示)：如图1． T：太简单了！可是简单朴素的往往是最本质的，今天我们就是要从这个问 题引发出一个的重大的研究课题．请指出满足f(x)=x－2＞0的x的取值的集合． S：是{x|x＞2}． T：满足f(x)=x－2＜0的x的取值的集合呢？ S：是{x|x＜2}． T：现在假设有一个小虫子在函数f(x)=x－2的图像，即直线l上爬行，那么它在哪一段上爬行时，分别使f(x)＞0与f(x)＜0呢？ S：在x轴上方爬行时，使f(x)＞0；在x轴下方爬行时，使f(x)＜0． T：反映的是最本质的规律，也是一种重要的数学思想的体现． S：是数形结合的思想的体现． T：妙啊！更可喜的是，这种思想方法适用于一切函数．(学生感到十分惊喜)也就是说，对于一切函数f(x)，如果它的图像是曲线C，那么满足f(x)＞0的x的取值的集合对应于曲线C的–––？满足f(x)＜0的x的取值的集合对应于曲线C的–––？ S：满足f(x)＞0的x的取值的集合对应于曲线C在x轴上方的曲线段；满足f(x)＜0的x的取值的集合对应于曲线C在x轴下方的曲线段． T：可以负责任地告诉大家，只要理解、掌握了这个原理，今天这节课的基本内容就已经完成了，相信吗？ S(大声)：信！ T：比如说，设f(x)=x2－4x+3，如何求满足f(x)＞0与f(x)＜0的x的取值的集合呢？ S(热情高涨)：画出函数f(x)的图像(抛物线C，如图2)，知当x=1或3时，f(x)=0． 图2 x f(x) 1 C 3 O T：小虫子在抛物线C上爬行了．(学生大笑) S：当小虫子在抛物线C的x轴上方这一段(粗线)爬行时，满足f(x)＞0，对 应的x的取值的集合是{x| x＜1，或x＞3}；当小虫子在抛物线C的x轴下方这 一段(细线)爬行时，满足f(x)＜0，对应的x的取值的集合是{x|1＜x＜3}． T：呵呵，于是就进入了今天的研究课题，一元二次不等式的求解．不过我们 不能满足于一个特例的解决，而要研究––– S：一般的规律． T：没错．设不等式ax2+bx+c＞0(a≠0)，请别看书，自主研究如何求此不等式的解集． 图3 x f(x) x1 C x2 O S：设函数f(x)=ax2+bx+c，此函数的图像如图3，解方程ax2+bx+c=0，得 到它的两个根x1、x2(x1＜x2)，若