元次不等式的解集.docxVIP

PAGE  PAGE11 / NUMPAGES11 第十一讲一元二次不等式的解集 知识要点 1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。 不等式的基本性质有： 对称性：abba； 传递性：若ab，bc，则ac； 可加性：aba+cb+c； 可乘性：ab，当c0时，acbc；当c0时，acbc。 不等式运算性质： 同向相加：若ab，cd，则a+cb+d； （2）异向相减：，. （3）正数同向相乘：若ab0，cd0，则acbd。 （4）乘方法则：若ab0，n∈N+，则； （5）开方法则：若ab0，n∈N+，则； （6）倒数法则：若ab0，ab，则。 例1、若ab0，给出四个不等式：①a2b2②a3b3③④1，其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2、一元二次不等式的解法： 解不???式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。 一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。 求一般的一元二次不等式或的解集，要结合的根及二次函数图象确定解集． 对于一元二次方程，设，它的解按照可分为三种情况．相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况．因此，我们分三种情况讨论对应的一元二次不等式的解集，列表如下： 分析 求算术根，被开方数必须是非负数． 解 据题意有，x2－x－6≥0，即(x－3)(x＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x≥3或x≤－2． 例3 解下列不等式 (1)(x－1)(3－x)＜5－2x (2)x(x＋11)≥3(x＋1)2 (3)(2x＋1)(x－3)＞3(x2＋2) 分析 将不等式适当化简变为ax2＋bx＋c＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)． 答 (1){x|x＜2或x＞4} (4)R (5)R 说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式． 例4 已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}与B＝{x|x2－2ax＋a＋2 分析 先确定A集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关 解 易得A＝{x|1≤x≤4} 设y＝x2－2ax＋a＋2(*) 4a2－4(a＋2)＜0，解得－1＜a＜2． 说明：二次函数问题可以借助它的图像求解． 例5、行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离，在某种路面上，某种型号的汽车的刹车距离y（米）与汽车的车速x（千米/小时）满足下列关系：y＝＋（n为常数，且n∈N），我们做过两次实验，有关数据如图所示．其中 （1）求出n的值． （2）要使刹车距离不超过18.4米，则行驶的最大速度应为多少? 解：（1）由图像知y1＝＋＝n＋4，y2＝＋＝n＋，依题意，即，∴n，∵n∈N，∴n＝3． （2）由y＝＋≤18.4，解得0x≤80，∴汽车行驶的最大速度为80千米/小时． 自主探究 在解关于含参数的一元二次不等式时，往往都要对参数进行分类讨论。分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点。下面举例说明解题时如何做到分类“不重不漏”。 【题型一】对根的大小讨论 例6解关于x的不等式　x2-2x+1-a2≥0. 分析：若不等式对应方程的根中含有参数，则须按的大小来分类，即分，=，三种情况。 【题型二】对首项系数a的讨论 例7 解关于x的不等式(x－2)(ax－2)＞0． 分析 不等式的解及其结构与a相关，所以必须分类讨论． 解 1° 当a＝0时，原不等式化为 x－2＜0其解集为{x|x＜2}； 4° 当a＝1时，原不等式化为(x－2)2＞0，其解集是{x|x≠2}； 从而可以写出不等式的解集为： a＝0时，{x|x＜2｝； a＝1时，{x|x≠2}； 说明：讨论时分类要合理，不添不漏． 【题型三】与一元二次不等式解法有关的逆向问题 例8 若ax2＋bx－1＜0的解集为{x|－1＜x＜2}，则a＝________，b＝________． 分析 根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax2＋bx－1＝0的两个根，考虑韦达定理． 解 根据题意，－1，2应为方程ax2＋bx－1＝0的两根，则由韦达定理知 例9 若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|α＜x＜β}(0＜α＜β)，求cx2＋bx＋a＜0的解集． 分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系．考虑使用韦达定理： 解法一 由解集的特点可知a＜0，根据韦达定理知： ∵a＜0，∴b＞0，c＜0． 解法二 ∵cx2＋bx＋a＝0是ax2＋bx＋a＝0的倒数方程． 且ax2＋bx＋c＞0解为α＜