元次方程(简单).docVIP

 PAGE 6 一元二次方程 一、知识清单 1．一元二次方程的定义： 只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax2＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 注意： 满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。（三个条件缺一不可） 2．一元二次方程的一般形式： 一元二次方程的一般式是ax2＋bx+c=0 (a、b、c为常数，a≠0）。其中ax2是二次项， a 是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 3．一元二次方程的解法： ⑴ 直接开平方法：如果方程 (x+m）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解。 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法 ⑶ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的． 一元二次方程的求根公式是 (b2－4ac≥0) 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0. 4.一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)根的判别式: ⑴ 当时,方程有两个不相等的实数根； (2) 当时,方程有两个相等的实数根； ⑶ 当时,方程没有实数根。 以上三点反之亦成立。 (4)一元二次方程有实数根 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）： 设是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根，则， 5．设是一元二次方程ax2＋bx+c=0 (a≠0)的两根， 则：时，有 时，有 时，有 3．以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是： 二、典型例题解析 例1：用适当的方法解下列方程： （1） （2） （3） （4） 例2：已知关于的方程。 （1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有实数根； （2）当等腰三角形ABC的边长＝4，另两边的长、恰好是这个方程的两根时， 求△ABC的周长。 例3、若方程x2+2x-m+1=0没有实数根，求证：方程x2+mx+12m=1一定有两个不相等的实数根。 例4.设x1，x2是方程x2-3x＋1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1) x13x24+x14x23； 例5. 1．以2，－3为根的一元二次方程是_________________________. 　 2．已知方程2x2－3x－3=0的两个根分别为a，b，利用根与系数的关系，求一个一元二次方程 ，使它的两个根分别是：a+1、b+1　 例6、已知关于x的方程x2-mx+m+5=0有二实根a,b,方程x2-（8m+1)x+15m+7=0有二实根a,c。 求a2bc的值。 巩固提升 （一）基础巩固 1. 方程:①, ②, ③ , ④,较简便的解法_________。 A .依次为直接开平方法,配方法,公式法和因式分解法 B.①用直接开平方法,②用公式法,③④用因式分解法 C. 依次为因式分解法,公式法,配方法和直接开平方法 D. ①用直接开平方法,②③用公式法,④用因式分解法 2. 一元二次方程的解是_____________________。 3．设是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为 。 4．已知三角形的两边长分别是3和4,笫三边的长是方程x2－6x+5=0的根,三角形的形状为_________。 5. 方程的解是_________________________。 6、已知x1、x2是方程2x2+3x－4=0的两个根，那么：x1+x2= ；x1·x2= ；= ；x21+x22= ；(x1+1)(x2+1)= ；｜x1－x2｜= 。 7、以2和3为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 _________________ 。 8、关于x的方程2x2+(m2–9)x+m+1=0，当m= 时，两根互为倒数；当m= 时，两根互为相反数. 9、方程的一个根为另一个根的2倍，则m= . 10、已知方程的两根平方和是5，则= . 11、已知关于x的方程x2－3mx+2(m－1)=0的两根为x1、x2，且，则m= 。 12、求作