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元次方程及解法归类
寒假培训八年级下数学资料
一、一元二次方程及其相关概念
1、只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a,b,c是已知数且),其中ax2叫做________, bx叫做_______, a叫做___________系数,b叫做___________系数,c叫做_________.
典型例题:
1. 下列方程是一元二次方程的有___________
(1) .(2) ; (3) =0;
【变式练习】下列方程不是一元二次方程的是( )
A. x2+2x+1=0 B. x2=1-3x C. 0.1x2-x+1=0 D. x2+x=(x+1)(x-2)
方程4x2=13-2x化为一般形式为_____________,它的二次项系数是______, 一次项系数是________,常数项是______.
【变式练习】把一元二次方程(1-3x)(x+3)=2x2+1化成一般形式是:______________; 它的二次项系数是_______;一次项系数是_________; 常数项是_________.
当m=______时,关于x的方程(m-2)x2+mx=5是一元一次方程;当m______时,关于x的方程(m-2)x2+mx=5是一元二次方程。
【变式练习】已知m是方程的一个根,则=( )
-1 B. 0 C. 1 D. 2
关于x的方程是一元二次方程,则k的值为________
【变式练习】已知关于x的一元二次方程的一个根是0,则k=_______
二、直接开平方法
若x2=25,由平方根定义可以知:, 即x1=5, x2=-5;
若(2x-1)2=5,那么2x-1=______, 即2x-1=______, 2x-1=_____;
从而可以得到方程两根为:x1=______, x2=_______
解下列方程:(1) (2)
三、配方法
用配方法解一元二次方程的一般步骤:
化二次项系数为1;
② 移项,使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项;
③ 方程两边都加上一次项系数一半的平方;
④ 把原方程变为的形式;
⑤ 如果方程右边是非负数,就可以直接用开平方法求出方程的解。
◆ 在横线上填一个数,使左边变成一个完全平方式:
典型例题:
1: 将下列方程转化为的形式。
(1) (2)
2:用配方法解方程
【变式练习】用配方法解下列方程
(1) (2)
(3);
若为完全平方式,则m=_________;
若为完全平方式,则m=_________.
【例3】 用配方法求代数式的最小值。
【变式练习】用配方法证明的值恒小???0.
四、公式法
一元二次方程的求根公式:.
根的判别式:
(1)当0时,方程有两个不相等的实数根;
(2)当=0时,方程有两个相等的实数根 ;
(3) 当0时,方程没有实数根。
典型例题:
【例】用求根公式法解下列方程:
(1);
(2)
用求根公式法解下列方程:
(1) (2) (3)
五、因式分解法
(1)提公因式法:ma+mb+mc = m (a+b+c)
(2)公式法:① 平方差公式:a2-b2 = (a+b)(a-b);
② 完全平方公式:a2±2ab+b2 =(a±b)2;
(3)十字相乘法:x2+(a+b)x+ab = (x+a) (x+b)
因式分解的步骤:
一“提”:先看多项式的各项有没有公因式,若有公因式必须先提出公因式;
二“套”:再看能不能用公式法分解;
三“查”:看是否每一个因式都不能再分解。
典型例题:
1) 2)
3)4)(十字双乘法)
【例】用因式分解法解下列方程:
(1) (2)
(3) (4)
【练一练】用因式分解法解下列方程:
(1) (2)
(3) (4)
一元二次方程的四种解法的灵活运用:
对于方程
若b=0, 则宜用__________法解;
若c=0, 则宜用__________法解;
若b≠0, c≠0, 则要准确把握方程的特征,选用适当的解法。
① 方程化为标准形式 后,左边易于因式分解的用因式分解
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