元次方程应用题题型分类练习.docVIP

PAGE  龙文教育 PAGE  PAGE 14 一元二次方程的应用 （一）二次三项式的因式分解 　（1）　形如ax2＋bx＋c(a≠0)的多项式叫做x的二次三项式． （2） 二次三项式因式分解的公式 ax2＋bx＋c=a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 　　说明：(a)在此公式中x1、x2是对应的一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个根． 　　(b)任何二次三项式，当对应的一元二次方程△=b2－4ac≥0时，能分解因式；当△=b2－4ac＜0时，不能分解因式．当△=0时，二次三项式ax2＋bx＋c是完全平方式． 　　(c)对于二次三项式的因式分解，能用前面学过的方法分解的，用前面学过的方法较简便．借助一元二次方程分解的，主要是指那些用前面学过的方法不能因式分解的二次三项式． (3) 因式分解二次三项式的步骤 　　(a)求二次三项式ax2＋bx＋c所对应的一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根x1、x2． 　　(b)将求得的x1、x2的值代入因式分解的公式ax2＋bx＋c=a(x－x1)(x－x2)． 　 (4) 难点/混淆点： (a)在二次三项式的因式分解时，注意不要丢掉公式中的二次项系数a． 　　(b)要注意公式中x1、x2前面的符号和x1、x2本身的符号不要混淆． 　　(c)把x1、x2的值代入公式后，能化简整理的可以化简整理． (5) 常见例题 - 4y2＋8y－1． 解：对应的方程为－4y2＋8y－1=0 根的判别式：△=8*8-4*（-4）*（-1）=48〉0 所以它有两个不等的实根。它的两根是： 　　 　　启示：(a)解方程时，如果二次项系数是负数，一般可将其化为正数再解，这样可提高解方程的准确性，如解－4y2＋8y－1=0可化为4x2－8y＋1=0再解； 　　(b)把4分解为2×2，两个2分别乘到每个括号内恰好能去掉两个括号内的分母，从而使分解式得到简化． (6) 拓展：形如Ax2＋Bxy＋Cy2的因式分解 这样的多项式叫做关于x,y的二元二次多项式，一般将其中一个变元作为未知数，另一个就看作已知数，这样一来，可看作关于x或y的二次三项式. (7) 综合题： 二次三项式3x2－4x＋2k，当k取何值时，(a)在实数范围内能分解；(b)不能分解；(c)能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？ 　　　解：△=(－4)2－4×3×2k=16－24k 　　(a)当△≥0时，即16－24k≥0，时，二次三项式3x2－4x＋2k在实数范围内能分解因式； 　　(b)当△＜0时，即16－24k＜0，时，3x2－4x＋2k不能分解因式； 　　(c)当△=0时，即16－24k=0，时，3x2－4x＋2k是一个完全平方式． 　　当时， 　　 　（二）列一元二次方程解应用题 （1）解应用题步骤 即： 1．审题； 2．设未知数，包括直接设未知数和间接设未知数两种； 3．找等量关系列方程； 4．解方程； 5．判断解是否符合题意； 6．写出正确的解． （2）常见类型 类型一、数字问题 例1.两个连续奇数的积是323，求这两个数． 　　 举一反三：【变式1】两个连续整数的积是210，求这两个数． 【变式2】已知两个数的和是12，积为35，求这两个数．　　 例2.有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数． 　　 举一反三：【变式1】有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数． 　　 类型二、传播问题 例1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 举一反三： 【变式1】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？ 【变式2】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 类型三、平均增长率问题 列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 平均增长率公式为a(1+x)n=b(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为a(1-x)n=b(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量