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一元二次方程总复习资料 一、知识扫描 1.只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.因此，由一元二次方程的定义可知，即一元二次方程必须满足满足以下三个条件：①方程的两边都是关于未知数的整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2。这样的方程才是一元二次方程，不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程。例如：都是一元二次方程。而不是一元二次方程，原因是是分式。 2.任何关于x的一元二次方程的都可整理成的形式.这种形式叫做一元二次方程的一般形式，它的特征是方程左边是一个关于未知数的二次三项式，方程右边是零，其中叫二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。注意b、c可以是任何实数，但a绝对不能为零，否则，就不是一元二次方程了。化一元二次方程为一般形式的手段是去分母、去括号、移项、合并同类项，整理后的方程最好按降幂排列，二次项系数化为正数。注意任何一个一元二次方程不可缺少二次项，担可缺少一次项和常数项，即b、c均可以为零。如方程都是一元二次方程。 3．一元二次方程的解. 使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值，叫一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根。如x=1时，成立，故x=1叫 的解。 4.一元二次方程的解法 解一元二次方程的基本思想是通过降次转化为一元一次方程，本节共介绍了四种解法。 （1）直接开平方法：方程的解为，这种解一元二次方程的方法叫 直接开平方法。它是利用了平方根的定义直接开平方，只要形式能化成的一元二次方程都可以采用直接开平方法来解。如，可化成，所以 （2）因式分解法：首先把方程右边化为为零，左边通过因式分解化为两个一次因式乘积，由于两个一次因式相乘为零，第一个因式为零或第二个因式为零。这样通过降次将一元二次方程转化为一元一次方程。使用因式分解法解一元二次方程时千万别约去两边含未知数的等式，如解时，两边不能约去x-1,解得，这样就丢掉了x=1这个解，正确的做法是先移项，右边化为为零，正确解法如下，移项得： ，即，那么x-1=0或3x-1=0,从而得到x-1或 （3）配方法：我们先解方程，在方程两边同除以2得，移项得，方程左边配方得，即，利用直接开平方法得。通过这个例子我们发现配方法是通过配方将一元二次方程化成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。配方法是一种重要的数学思想，它以为依据。其基本步骤是： ①首先在方程两边同除以二次项系数a,b把二次项系数化为1 ②把常数项移到等式的右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④方程左边写成完全平方式，右边化简为常数； ⑤利用直接开平方法解此方程 用配方法解一元二次方程要注意，当二次项系数不为一时，一定要化为一，然后才能方程两边同时加上一次项系数一半的平方； （4）公式法：利用公式可以解所有的一元二次方程，用求根公式解一元二次方程的关键是先把方程化为的形式，当时，方程的解为，当0时，一元二次方程无解。用公式法解一元二次方程时一定要把一元二次方程化为的形式，准确确定a、b、c的值。叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“△”来表示，即△=，“△”读作“delta”.一元二次方程的根的情况与判别式△的关系： 当时，方程有两个不相等的实数根 ，当时，方程有两个相等的实数根 ，当时，方程没有实数根。 5．关于一元二次方程的应用 列方程解应用题的实质是把实际问题利用已知量与未知量之间的等量关系抽象成数学问题（方程问题），然后通过数学问题的解决，获得实际问题的答案。列一元二次方程解应用题的一般步骤可概括为审、设、列、解、答。 ①审：弄清题目中涉及到的已知量与未知量，找出反映已知量与未知量等量关系的句子 ②设：用x表示未知数，把其他量也用数学利用已知量与未知量之间的等量关系式子表示出来 ③列：利用已知量与未知量之间的等量关系列一元二次方程 ④解：解一元二次方程，注意要检验所得的解是否满足题意 ⑤答：写出答案。 6.一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）： 如果的两个根是 则 . 二、典型例题讲解 例1、若方程是关于x的一元二次方程，求m的值 例2、关于x的一元二次方程的一个根是0，求a的值关于x的方程 例3、解下列方程 （1） （2） （3） （4） 例4、用配方法说明，不论x取何值，代数式的值总不小于8，并求出x取何值时这个代数式的值最小 例5、已知 例6、关于x的方程（m－1）x2－2（m－3）x＋m＋2＝0有实数根，求m的取值范围。 例7、商店里某件商品在两个月里连续降价两次，现在该商品每件的价格比两个月前下降了，问平均每月降价百分之几？ 例8、如图,某农户为了发展养殖业,准备利用一段墙( 墙长18米)和55米长