元次方程根的判别式的多种应用.docVIP

PAGE  PAGE 4 一元二次方程根的判别式的多种应用 一元二次方程根的判别式用来判断一元二次方程根的情况，能帮助我们解一元二次方程，也是以后学习一些知识的基础，在解题中应用很多，举例如下：一、?不解方程，判断一元二次方程根的情况。 例1、判断下列方程根的情况 2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0二、?已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0 有两个实数根？ 例3、当m分别取何值时关于x的方程（m-1）x2+（2m-1）x+m-1=0①?有两个不相等的实数根 ?②有两个相等的实数根③?有两个实数根 ?④有一个实数根?⑤有实数根?⑥无实数根 评析：初中阶段的根的判别式Δ=b2-4ac是相对于一元二次方程而言的，而ax2+bx+c=0当a=0时是一元一次方程不能用判别式，所以例2中一定要考虑二次项系数m-4≠0；例3则一定要做分类讨论。三、?证明方程根的性质。例4、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。 评析：这种应用有两个难点：（1）是容易与（二）中求字母取值混淆，即用Δ≥0求m的取值范围；（2）是用配方法证明二次三项式的特性。四、?判断二次三项式能否在实数范围内因式分解例5、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解？ 评析：对于系数是有理数的二次三项式ax2+bx+c（a≠0）的因式分解，其方法是先求ax2+bx+c=0（a≠0）的根然后再代入公式，所以，判别式决定了二次三项式能否在实数范围内因式分解，即：Δ0时不能在实数范围内因式分解；Δ≥0时能在实数范围内因式分解；进而当Δ为完全平方数时能在有理数范围内因式分解；再进而当Δ=0时ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）=a（x-x1）2（a≠0），所以此时可以说它是完全平方式。五、?判定二次三项式为完全平方式例6、若x2-2（k+1）x+k2+5是完全平方式，求k的值。例7、当m为何值时，代数式（5m-1）x2-（5m+2）x+3m—2是完全平方式。六、?利用判别式构造一元二次方程例8、已知：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x≠y）求证：2y=x+z简解：证明：以（x-y）、（z-x）、（y-z）为系数的一元二次方程（x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0有两个相等的实数根又∵（x-y）+（z-x）+（y-z）=0∴ t1=t2=1由根与系数的关系可知： t1·t2=(y-z)/(x-y)=1∴2y=x+z七、?限制一元二次方程的根与系数关系的应用例9、已知关于x的方程x2-（k-1）x-3k-2=0的两个实数根的平方和为17，求k的值。简解：设方程的两个实数根为m、n，∴m+n=k-1，mn=-3k-2∴m2+n2=（m+n）2-2mn=k2+4k+5=17∴k1=-6，k2=2又∵Δ=[--2（k-1）]2-4（-3k-2）=k2+10k+9∴当k1=-6时，Δ= k2+10k+9=-150，方程无实数根；当 k2=2时，Δ= k2+10k+9=330方程有实数根。故只取k=2。评析：初中范围内，在应用韦达定理求字母取值时，其前提条件是使方程有实数根，即必须使所求字母的值满足Δ≥0，正如应用判别式时一定要考虑二次项系数，即对于ax2+bx+c=0（a≠0），可按如下顺序求字母取值：a→Δ→韦达定理。八、?与几何知识相联系的问题。例10、已知方程a（x2+1）-2bx+c（x2-1）=0有两个相等的实数根，a、b、c为一三角形的三条边，求此三角形的形状。例11、已知a、b、c为直角三角形的三条边，c为斜边，求证：关于x的方程x2-2（a+b）x+c2+ab=0有两个相等的实数根。简解：证明：Δ=[-2（a+b）]2-4（c2+ab）=4（a2+b2-c2）∵a、b、c为直角三角形的三条边，c为斜边∴Δ=a2+b2-c2 =0 ∴原方程有两个相等的实数根。在以后的学习中，判别式的应用也非常频繁，在与其他知识的综合运用时更显得尤为重要。九、?判断其他类方程根的情况。例12、分式方程 无实数根，求m的取值范围。例13、a、b、c为一三角形的三条边长，若方程ax-y+bc=0与方程x2-ax-y+b2=0只有一组公共的实数解，求次三角形的形状。十、?解决二次函数的相关问题。例14、若抛物线y=x2-ax+8的顶点在横轴上，求a值。例15、求证：无论m为何值，二次函数y= x2-（m+4）x+2（m-