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全等三角形章末小结 知识导图 全等三角形 命题、公理、定理 全等三角形的判定 (S.A.S.) (A.S.A.) (S.S.S.) (A.A.S.) 尺规作图 (H.L.) 直角三角形全等的判定 作 线 段 作 角 作角平分线 作 垂 线 作垂直平分线 逆命题与逆定理 到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上 到一条线段的两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 必背宝典 一、命题 1．定义：可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题. 2．命题的分类：命题分为真命题和假命题。正确的命题称为真命题，错误的命题称为命题。要判断一个命题是真命题，可以用逻辑推理的方法加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题结论不成立。 3．命题的组成：命题由题设（或已知条件）和结论两个部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。命题常可写成“如果……，那么……”的形式，用“如果”开始的部分就是题设，而用那么开始的部分就是结论。 二、公理、定理 1．公理的定义：人们在长期实践中总结出来，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理. 2．定理的定义：从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理. 三、全等三角形 1．全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 2．全等三角形的性质：（1）全等三角形的对应角相等，对应边相等.（2）全等三角形对应角的平分线，对应边上的中线，对应边上的高线也都分别相等.（3）全等三角形的周长相等，面积也相等. 3．三角形全等的判定方法： 一般三角形全等有四种判定方法： SAS，ASA，AAS，SSS. 直角三角形全等的判定方法有： SAS，ASA，AAS，SSS，HL. SAS：有两条边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等。 ASA: 有两个角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等。 AAS: 有两个角和其中一个角的对边分别对应相等的两个三角形全等。 SSS：三条边分别对应相等的两个三角形全等。 (直角三角形)HL: 斜边和一条直角边分别对应相等的两个??角三角形全等。 注意：“AAA”和“SSA”不能判定三角形全等。即：三角对应相等的两个三角形不一定全等；两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 3．证三角形全等的思路：两个三角形全等，通常需要3个条件，其中至少要有1组边对应相等。其证题思路有: 4．三角形全等的基本图形 （1）对称型：它们的特征是可沿某一直线对折，且这直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点。其基本图形如下所示： （2）平移型：它们可以看作是由对应相等的边在同一直线上移动所构成的，所以证对应边的相等关系，一般可由同一直线上的线段和或差而证得。其基本图形如下所示： （3）旋转型：它们可以看成是以三角形的某一顶点为中心旋转而成的，一般有一对相等的角隐含在其中。其基本图形如下所示： 5.全等三角形基本图形间的变换： 三、尺规作图 1．定义：只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图. 2．尺规作图的一般步聚:⑴已知;⑵求作;⑶作法;⑷证明. 3．五种基本作图： ⑴作一条线段等于已知线段；⑵作一个角等于已知角；⑶作已知角的平分线；⑷经过一已知点作已知直线的垂线；⑸作一已知线段的垂直平分线. 4．利用尺规作三角形的类型： ⑴已知三边，求作三角形； ⑵已知三角形的两边及其夹角，求作三角形； ⑶已知三角形的两角及其夹边，求作三角形； ⑷已知三角形的两角及其中一角的对边，求作三角形； ⑸已知三角形一直角边和斜边，求作三角形. 四、逆命题与逆定理 1.互逆命题 在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题,那么另一命题就叫做它的逆命题. 2.原命题和逆命题的关系 每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，使可得到原命题的逆命题。 3．定理、逆定理 ?如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。 4．等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么，这个三角形是等腰三角形。（简单地说：“等角对等边”） 5.勾股定理的逆定理 如果一个三角形的一条边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。 6．角的平分线 (1)性质定理:角平分线上的点到这个角两边的距离相等。 (2)逆定理：到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上。 7.线段垂直平分线 (1)性质定理:线段的垂直平分线上的点到这条