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 PAGE 17  PAGE 17 关于积分上限函数的性质和应用 论文作者： 指导老师： 专 业：信息与计算科学 本科专科：本科 年 级：2011级 提交日期：2012年5月31 日  目录 TOC \o 1-3 \h \u  HYPERLINK \l _Toc12871 一、上限函数的定义与性质  PAGEREF _Toc12871 5  HYPERLINK \l _Toc1402 二、 积分上限函数的应用  PAGEREF _Toc1402 7  HYPERLINK \l _Toc30365 2.1 积分上限函数在单调性的应用  PAGEREF _Toc30365 7  HYPERLINK \l _Toc6513 2.2 证明方程根的应用  PAGEREF _Toc6513 8  HYPERLINK \l _Toc27367 2.3 积分上限函数在证明不等式题中的应???  PAGEREF _Toc27367 9  HYPERLINK \l _Toc12960 2.4 积分上限函数在证明恒等式题中的应用  PAGEREF _Toc12960 10  HYPERLINK \l _Toc10580 2.5在求导中的应用  PAGEREF _Toc10580 11  HYPERLINK \l _Toc5387 2.6在极值中的应用  PAGEREF _Toc5387 12  HYPERLINK \l _Toc30243 2.7在求原函数中的应用  PAGEREF _Toc30243 14  HYPERLINK \l _Toc27411 2.8求解函数方程  PAGEREF _Toc27411 14  HYPERLINK \l _Toc29892 2.9证明积分中值定理  PAGEREF _Toc29892 15  HYPERLINK \l _Toc19106 2.10上限函数在重积分上的应用  PAGEREF _Toc19106 16  HYPERLINK \l _Toc10986 2.11上限函数在函数关系中的应用  PAGEREF _Toc10986 16  HYPERLINK \l _Toc29783 结束语  PAGEREF _Toc29783 17  HYPERLINK \l _Toc26989 致谢  PAGEREF _Toc26989 17  HYPERLINK \l _Toc9605 参考文献  PAGEREF _Toc9605 17   摘要：积分上限函数是积分学中一类具有特殊形式的函数，对积分上限函数的性质进行研究，并用于解决一些微积分问题，还得到了比较好的结论。本文利用积分上限函数的性质讨论一些特殊函数的求导数、求极限、求单调性、求解函数方程、在函数关系上的应用、在连续性方面的应用、证明方程根的应用、在计算重积分上的应用、证明不等式、证明中值定理。 关键词：积分上限函数；性质；积分 一、上限函数的定义与性质 设函数f（x）在区间[a,b]连续，则f（x）在[a,b]上可积，对任意的x∈[a,b]，则存在，即这个积分是上限x的函数。由于积分与变元素采用的记号无关，这个积分也常记作。将这个函数记作Φ(x)=。 定理1 、若函数在区间连续，则积分上限函数 在有连续的导数，且， 即积分上限函数是被积函数的一个原函数。 证明：设，取，使则有 已知函数在闭区间连续，则由积分中值定理，至少存在一点,使 = 取，（） 则，或 又由函数在的连续性，有 即，。 由此可见，尽管定积分与不定积分（原函数）的概念是完全不同的，但是二者之间存在着密切的联系。 在区间上的连续函数存在原函数，而积分上限函数就是的一个原函数。 定理2 、若是周期为T的连续函数，则是周期为T的函数，其中，为任意常数。 证明： （1） 又因为是周期为T的连续函数，所以有 且。 从而 （2） 把（2）代入（1）得 故是T为周期的函数， 该定理告诉我们当是具有周期