D10_3三重积分柱坐标与球坐标20160405汇编.ppt

小结 3. 设? 由锥面 3. 计算 备用题 1. 计算 解: z O x y a . M . r ? ? 解: 在球面坐标系下 10(2).计算 其中? 由不等式 所确定. . . 解: 在球面坐标系下 10(2).计算 其中? 由不等式 所确定. 所围成的闭区域. 11(2).计算 其中? 是由球面 解: 在球面坐标系下 所围成的闭区域. 10(1).计算 其中? 是由球面 解: 在球面坐标系下 所围成的在第一卦限内的闭区域. 11(1).计算 其中? 为柱面 解: 在柱面坐标系下 及平面 和球面 所围成 , 计算 提示: 利用对称性 用球坐标 内容小结 积分区域多由坐标面 被积函数形式简洁, 或 坐标系 体积元素 适用情况 直角坐标系 柱面坐标系 球面坐标系 * 说明: 三重积分也有类似二重积分的换元积分公式: 对应雅可比行列式为 变量可分离. 围成 ; 作业 P167 9，10，11（1，2）。 第四节 例7.求曲面 所围立体体积. 解: 由曲面方程可知, 立体位于xOy面上部, 利用对称性, 所求立体体积为 yOz面对称, 并与xOy面相切, 故在球坐标系下所围立体为 且关于 xOz 其中 解: 利用对称性 1. 将 用三次积分表示, 其中? 由 所 提示: 思考与练习 六个平面 围成 , * 例8 解1 解2 例9 解 * 目录 上页 下页 返回 结束 利用柱坐标计算三重积分的步骤 考虑是否用柱坐标计算 化为柱坐标系下 三重积分 积分次序： 定限方法： 化为累次积分 计算累次积分 注意 对一个变量积分时，将其余变量视为常数 Ω的投影为圆或圆的一部分 f(x,y,z)= 或 三变、一勿忘 积分区域 Ω 柱坐标表示 被积函数 体积元素 一个勿忘 一般先z后ρ再θ 投影、发射 利用球坐标计算三重积分的步骤 考虑是否用球坐标计算 化为球坐标系下 三重积分 积分次序： 定限方法： 化为累次积分 计算累次积分 注意 对一个变量积分时，将其余变量视为常数． Ω的球或球的一部分 f(x,y,z)中含有 三变、一勿忘 积分区域 Ω 球坐标表示 被积函数 体积元素 一个勿忘 一般先r后φ再θ． 观察、想象． 三重积分的定义和计算 在直角坐标系下的体积元素 （计算时将三重积分化为三次积分） 方法1. “先一后二” 方法2. “先二后一” 2. 确定上下曲面函数，得 z的积分限; 1. 把Ω往xoy平面上投影,得积分区域D; 3. 先求关于z的定积分,得x,y的二元函数; 4. 再求关于x,y的二重积分. 先一后二”积分法的基本步骤: 对z∈[a,b]用过点(0,0,z)且平行 xOy平面的平面去截Ω ，得截面Dz; 1. 把Ω向z轴投影,得z的积分限[a,b]; 3. 先求关于x,y的二重积分,得 “先二后一”积分法的基本步骤: 4. 最后计算单积分 第三节 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 三重积分 第十章 回忆用投影法（先一后二）计算三重积分 如果积分区域? 在坐标面上的投影区域 D 是圆域 则二重积分应当考虑用极坐标计算. 这就等于用柱面坐标计算三重积分. 2. 利用柱坐标计算三重积分 2. 利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系: 坐标面分别为 圆柱面 半平面 平面 在柱面坐标系中体积元素为 因此 元素区域由六个坐标面围成 如图所示, 在柱面坐标系中体积元素为 因此 其中 适用范围: 1) 积分域一般应为柱体,锥体,柱面,锥面与其他曲面 所围空间体等. 2) 被积函数用柱面坐标表示时变量互相分离. 常见曲面的柱面坐标方程 柱面坐标方程 直角坐标方程 曲面 半球面 圆锥面 旋转抛物面 圆柱面 圆柱面 圆柱面 常见曲面的柱面坐标方程 2. 利用公式 用柱面坐标计算三重积分的一般步骤： 1.将区域?往xoy面上投影，确定平面区域D 3. 过D内任一点(x，y)做平行于z 轴的直线，穿区域?确定z的上下限； 4. 在 D上分别确定r、?上下限（类同于平面极坐标） 次序为：z?r?? 将?的边界曲面、被积函数 f(x，y，z),体积元素,三重积分化为柱面坐标系下形式； 柱面坐标常用于： 圆柱体和圆锥体上的三重积分。 例1. 计算三重积分 所围成 . 与平面 其中? 由抛物面 在柱面坐标系下 原式 = 解: ?在xOy面上的投影区域D: 上边界曲面为z = 4? 下边界曲面为z ? . 例2. 计算 解： 故?在xOy平面 得交线 上投影区域为 所围成 . 与平面 其中? 由圆锥