D14函数的连续性和间断点汇编.ppt

函数与极限 一、函数的连续性(continuity) 5 连续函数和差积商的连续性 定理3. 连续函数的复合函数是连续的.(前提是可以复合) 例如, 例1 . 例2. 求 例4. 求 二、 函数的间断点 间断点分类: 一、最值定理 推论. 定理3. ( 介值定理 ) 例1. 证明方程 例2. 设 四、小结 思考题 解 注意 可去间断点只要改变或者补充可去间断处函数的定义, 则可使其变为连续点. 如例4中, 例5 解 2.跳跃间断点 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 左右极限相等，则为可去间断点； 左右极限不相等，则为跳跃间断点． 例5中的间断点为跳跃间断点． 3.第二类间断点 例6 解 例7 解 注意 函数的间断点可能不只是个别的几个点. 这时也称其为振荡间断点． 狄利克雷函数(Dirichlet’s function) 在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点. 仅在x=0处连续, 其余各点处处间断. ★ ★ 在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续. ★ 判断下列间断点类型: 例8 解 最值 定义: 例如, 三 闭区间上连续函数的性质 注意: 若函数在开区间上连续, 结论不一定成立 . 定理1.在闭区间上连续的函数 即: 设 则 使 值和最小值. 或在闭区间内有间断 在该区间上一定有最大 (证明略) 点 , 例如, 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由定理 1 可知有 证: 设 上有界 . 在闭区间上连续的函数在该区间上有界. 证： ∴取 当|x|X时, | f (x)-A|1 又||f (x)|-|A||| f (x)-A|1, 即: | f (x)||A|+1 ∵ f(x) 在(-∞，+∞)上连续，∴ f(x)在[-X，X]上连续。 由最值定理, ?M00, ?x ? X, 都有| f (x)|M0 取M=max{|A|+1, M0}, 例1 设 f (x) 在(-∞, +∞)上连续，且 存在, 证明 f (x) 在(-∞, +∞)上有界。 二、零点定理和介值定理 定理2. ( 零点定理 ) 至少有一点 且 使 ( 证明略 ) 定义: 几何解释: 设 且 则对 A 与 B 之间的任一数 C , 一点 证: 作辅助函数 则 且 故由零点定理知, 至少有一点 使 即 使 至少有 几何解释: 推论: 在闭区间上的连续函数 必取得介于最小值与最 大值之间的任何值 . 一个根 . 证: 显然 又 故据零点定理, 至少存在一点 使 即 说明: 内必有方程的根 ; 取 的中点 内必有方程的根 ; 可用此法求近似根. 二分法 在区间 内至少有 则 则 例 证 由零点定理, 上连续 , 且恒为正 , 在 对任意的 必存在一点 证: 使 令 , 则 使 故由零点定理知 , 存在 即 当 时, 取 或 , 则有 证明: 经 济 数 学 一、函数的连续性的概念 二、函数的间断点 四、小结 思考题 第四节 函数的连续性 三、闭区间上连续函数的性质 1.函数的增量(increment) 注意： 2.连续的定义 即：函数在某点连续等价于函数在该点的极限存在且等于该点的函数值. 即：函数在某点连续 例1 证 由定义2知 例2 证 3.单侧连续 定理 例3 解 右连续但不左连续 , 4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. continue 例如, 在 上连续 . ( 有理整函数(多项式 )) 又如, 有理分式函数 在其定义域内(分母不为0)连续. 只要 都有 若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . 注意: 1:如果区间包含端点,那么函数在右端点连续指其在该端点左连续,在左端点连续指在该端点右连续.比如在(a,b);[a,b);(a,b];[a,b]上连续. 2:存在在其定义区间上处处不连续的函数:狄利克函数 也有在所有整数点都不连续的函数,比如取整函数. 在其定义域内连续 定理1. 在某点连续的有限个函数经有限次和 , 差 , 积 , ( 利用极限的四则运算法则证明) 商(分母不为 0) 运算, 结果仍是一个在该点连续的函数 . 例如, 在其定义域内每一点都连续 结论：三角函数在其定义域内每一点都连续 定理2. 连续严格单调递增 函数的反函数 (严格递减). (证明略) 严格单调递增 (严格递减) 也连续且 注意:1:如果仅仅是单调可能反函数都不一定存