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高中数学[第一册(上)]教案 第二章 函 数  PAGE １０５ 二 指数与指数函数 2.5 指 数 [教学目的] ⒈使学生理解根式的概念，掌握方根的性质. ⒉使学生理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质. 3.使学生能正确进行根式与分数指数幂的互化；熟练掌握有理指数幂和根式的运算. [重点难点] 重点：分数指数幂的概念和分数指数的运算性质； 难点：根式的概念和分数指数幂的概念. [教学设想] 1.教法: 2.学法: 3.课时:4课时 §2.5.1 指数(一)—n次方根的概念和性质 [教学目的] 理解根式的概念；掌握方根的性质. [重点难点] 重点：根式的概念和性质；难点：根式的概念. [教学过程] 一、复习引入 ⒈复习：⑴在初中，我们学习过的整数指数幂是怎样定义的？即an=? a0=? a-n=? 答：an=；a0=1（a≠0）; a-n=( a≠0,n∈N*). ⑵随着指数??围的扩充，幂的运算性质是怎样合并简化的？ 答：正整数指数幂的运算性质是： ①am·an=am+n(m,n∈N*)；②(am)n=amn(m,n∈N*)；③(ab)n=an bn(n∈N*); ④am÷an=am-n(a≠0,m,n∈N*，且mn)； ⑤(a/b)n=an/bn(b≠0,且n∈N*). 当指数的范围扩大到整数集Z之后，幂的运算性质可由上述5条合并为下列的3条，即： ①’am·an=am+n(m,n∈Z)；②’(am)n=amn(m,n∈Z)；③’(ab)n=an bn(n∈Z). 此时，上述的④可归入①’，即am÷an=am·a-n=am-n；⑤可归入③’，即(a/b)n=(a·b-1)n=an·b-n=an/bn. 注意：无论是①--⑤,还是①‘--③‘都要遵守零指数幂、负整数指数幂的底数不能等于0的规定. ⒉引入：⑴如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根. 例如，若32=9，则3是9的平方根；若53=125，则5是125的立方根. ⑵若24=16，则2是16的4次方根；若35=243，则3是243的5次方根. 一般地，如果一个数的n（n1,n∈N*）次方等于a，那么这个数又叫做什么呢？（叫做a的n次方根）. 这是今天我们要学习的内容. 二、学习、讲解新课 ⒈根式的概念 一般地，如果一个数的n（n1,n∈N*）次方等于a，那么这个数叫做a的n次方根.即若xn=a，则x叫做a的n次方根，其中n1,且n∈N*. 当n 是奇数时，实数a的n次方根用符号表示；当n 是偶数时，正数a的n次方根用符号±表示. 式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. 例如，27的3次方根表示为，-32的5次方根表示为，a6的3次方根表示为；16的4次方根表示为±，即16的4次方根有两个，一个是，另一个是-，它们绝对值相等而符号相反. ⒉方根的性质 n次方根的性质实际上是平方根和立方根性质的推广，因此跟立方根和平方根的情况一样： 奇次方根的性质：在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数；负数的奇次方根是一个负数. 例如，，，. 偶次方根的性质：在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数；负数的偶次方根没有意义. 例如，16的4次方根是±=±2；而-16的4次方根则没有意义. 0的任何次方根都是0，记作=0. 注意：当a≥0时，≥0，所以类似=±2的写法是错误的. ⒊三组常用公式 根据n次方根的定义，易得到以下三组常用公式： ⑴当n为任意正整数时，()n=a.例如，()3=27，()5=-32. ⑵当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=.例如，=-2，=2；=3，=|-3|=3. ⑶根式的基本性质：，（a≥0）. 注意，⑶中的a≥0十分重要，无此条件则公式不成立. 例如，. 用语言叙述上面三个公式： ⑴非负实数a的n次方根的n次幂是它本身. ⑵n为奇数时，实数a的n次幂的n次方根是a本身；n为偶数时，实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值. ⑶若一个根式（算术根）的被开方数是一个非负实数的幂，那么这个根式的根指数和被开方数的指数都乘以或者除以同一个正整数，根式的值不变. ⒋例题评价 例 (P71例1) 求下列各式的值： ⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ (ab). 解：⑴ =-8；⑵ =|-10|=10； ⑶ =|3-|=-3；⑷ =|a-b|=a-b(ab). ⒌目标检测 化简下列各式： ⑴；⑵；⑶；⑷；⑸. 解：⑴ ；⑵ =； ⑶ =；⑷ =； ⑸ =. 三、小 结 ⒈随着指数范围的扩充，幂的运算性质可以合并简