函数与方程(教案).docVIP

 PAGE \* MERGEFORMAT 16 函数与方程 1．函数零点的概念：对于函数，我们把方程的实数根叫做函数的零点。 2．函数零点与方程根的关系： 方程有实数根函数的图象与有点函数有零点.因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程，所得实数根就是的零点 3．函数零点的存在性定理： 如果函数在区间上的图象是连续不断的曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根。 但要注意：如果函数在上的图象是连续不断的曲线，且是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有 注：若恒成立，则没有零点。 三．【技巧平台】 1.对函数零点的理解及补充 （1）若在处其函数值为0，即，则称为函数的零点。 （2）变号零点与不变号零点 ①若函数在零点左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数的变号零点。 ②若函数在零点左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数的不变号零点。 ③若函数在区间上的图像是一条连续的曲线，则是在区间内有零点的充分不必要条件。 （3）一般结论：函数的零点就是方程的实数根。从图像上看，函数的零点，就是它图像与交点的横坐标。 （4）更一般的结论：函数的零点就是方程的实数根，也就是函数与的图像交点的横坐标。 2.函数零点个数（或方程实数根的个数）确定方法 1)代数法：函数的零点的根; 2)（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。 3)注意二次函数的零点个数问题 有2个零点有两个不等实根; 有1个零点有两个相等实根 无零点无实根; 对于二次函数在区间上的零点个数，要结合图像进行确定 3.一元二次函数的零点、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系。 为学习的方便，在解一元二次不等式和一元二次方程时，把二次项系数化为正数， （1）恒成立，恒成立 （2）的解集为R； 的解集为R （3）对于二次函数在区间上的最值问题. 4.二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件。 ①方程f(x)=0的两根中一根比r大，另一根比r小a·f(r)0； ②二次方程f(x)=0的两根都大于r ;③二次方程f(x)=0在区间(p，q)内有两根 ④二次方程f(x)=0在区间(p，q)内只有一根f(p)·f(q)0，或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)检验另一根若在(p，q)内成立。 5.构造函数解不等式恒成立的问题 （1）含有参数的不等式恒成立问题，若易于作出图像，则用图像解决，若不易作图，可分离参数。 （2）恒成立，恒成立（注意等号是否成立） （3）有解，有解 （4）在区间上恒成立在上大于0 6.函数零点个数的确定方法: ①一元二次方程常用判别式来判断根的个数;②一元方程最多有个实数根,一般常用分解因式进行求解; ③指数函数与对数函数等超越函数的零点个数问题,常用图象进行解决; ④利用函数的单调性(通过求导来确定函数的单调区间)来判断函数零点的个数. 4)对于函数的零点个数问题，可画出两个函数图像，看其交点个数有几个，则这些交点横坐标有几个不同的值就有几个零点。 5)方程的根或函数零点的存在性问题，要以根据区间端点处的函数值乘积的正负来确定，但要确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区间的端点处的函数值的正负，作出正确的判断。 6)要特别注意数形结合解出方程解的个数的问题。 7.用二分法求方程的近似解: (1)二分法的定义:对于在区间上连续不断且的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法; (2) 用二分法求方程的近似解的步骤: ①确定区间,验证,给定精确度;②求区间的中点;③计算; (ⅰ)若,则就是函数的零点;(ⅱ) 若,则令(此时零点); (ⅲ) 若,则令(此时零点); ④判断是否达到精确度,即,则得到零点近似值为(或);否则重复②至④步. 例题精讲： 例1.求下列函数的零点. (1) ; (2) ; (3) 分析:将以上函数分解因式后,令其等于零求解. 解: (1),令,解得,即函数的零点为; (2) ,令,解得或,即函数的零点为或. (3) 解:令,化得,解得或或, 所以函数的零点分别为或或. 例2.已知函数的两个零点都在内,求实数的取值范围. 分析:这类题为方程的是实根分布问题,要注意结合图象，从韦达定理、对称轴、函数值的符号及开口方向等方面去考虑，使结论成立的所有条件. 解:设函数的两个零点为与,且,则 ,化简得,解得，所以实数的取值范围为. 【例3】函数的零点