函数中十对易混的问题.docVIP

例析函数中十一对易混的问题 函数是高中数学中最重要的概念之一．在处理函数有关问题时，有些概念容易混淆，若不能理解概念的本质，就会产生错误．本文针对函数中容易混淆的十二对问题加以剖析并举例说明． 一、定义域与值域 例1．（ = 1 \* ROMAN I）若函数的定义域为，求实数的取值范围． （ = 2 \* ROMAN II）若函数的值域为，求实数的取值范围． 分析：（ = 1 \* ROMAN I）若函数的定义域为，就是无论为何实数，永远成立．令，则的图象始终在轴的上方，因此，就有且，从而，． （ = 2 \* ROMAN II）若函数的值域为，就是应该取遍一切正的实数，也就是集合是值域的子集．当时，，它的值域是，符合要求；当时，只要就能保证集合是值域的子集，解得；时不合要求．故实数的取值范围是． 评注：在处理具体的函数时，要切实把握定义域是自变量取值的集合，而值域是函数值的集合． 二、定义域与有意义 例2．（ = 1 \* ROMAN I）已知函数的定义域为，求实数的取值范围． （ = 2 \* ROMAN II）已知函数在区间上有意义，求实数的取值范围 分析：（ = 1 \* ROMAN I）因为函数的定义域为，所以不等式的解集是，于是，是方程的根，代入求得． （ = 2 \* ROMAN II）因为函数在区间上有意义，所以，不等式对恒成立，即对恒成立，而，即． 评注：若在上有意义，则是函数定义域的子集． 三、值域与函数值变化范围 例3．（ = 1 \* ROMAN I）若函数的值域为，求实数的取值范围． （ = 2 \* ROMAN II）若函数的值恒大于或等于1，求实数的取值范围． 分析：（ = 1 \* ROMAN I）因为函数，所以，即的值域为，于是有，解得或． （ = 2 \* ROMAN II）因为函数恒成立，即恒成立，因此有恒成立，解得． 评注：函数的值域是函数值的集合，其中每一个元素都是函数值；而函数值恒大于等于1，是指函数值在内，并非要求取遍内的每一个值． 四、主元与次元 例4．（ = 1 \* ROMAN I）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． （ = 2 \* ROMAN II）对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 分析：（ = 1 \* ROMAN I）原来的不等式可以转化为对于恒成立；按对称轴分下面三种情况讨论：  = 1 \* roman i）当时，即时，只要，即，此时矛盾．  = 2 \* roman ii）当时，即时，只要，即，此时矛盾．  = 3 \* roman iii）当时，即时，只要，即． 综上，实数的取值范围． （ = 2 \* ROMAN II）原来的不等式可以转化为对于恒成立；只要即可，于是，解得或或 评注：构造函数时并不一定要以为自变量，应该根据已知条件，选择恰当的变量为主元，从而使问题简化． 五、有解与恒成立 例5．（ = 1 \* ROMAN I）已知，若恒成立，求实数的取值范围． （ = 2 \* ROMAN II）已知，若有解，求实数的取值范围． 分析：（ = 1 \* ROMAN I）因为恒成立，这就要求的图象全部在直线的上方，即就可，易知，所以，． （ = 2 \* ROMAN II）要使有解，这就要求的图象上有点在直线的上方即可，即，又，所以， 评注：“有解”是要求某范围内存在使得不等式成立即可．有解，有解． “恒成立”要求对某范围内任意的，不等式都成立．恒成立，恒成立． 六、单调区间与区间单调 例6．（ = 1 \* ROMAN I）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． （ = 2 \* ROMAN II）若函数单调递增区间是，求实数的取值范围． 分析：（ = 1 \* ROMAN I）在区间上单调递增，那么，对称轴，解得． （ = 2 \* ROMAN II）图象的对称轴是，那么，的单调递增区间为，于是就有，解得． 评注：若函数在区间上具有单调性，则在的任一子区间上具有相同的单调性，而单调区间是具有单调性的最大区间． 七、某点处的切线与过某点的切线 例7．（ = 1 \* ROMAN I）求曲线在点处的切线方程． （ = 2 \* ROMAN II）求曲线过点的切线方程． 分析：（ = 1 \* ROMAN I）由得，，所以曲线在点处的切线方程为，即． （ = 2 \* ROMAN II）设切点为，又，所以切线斜率为，则曲线在点的切线方程为．又在切线上，于是就有，即，解得或； 当时，切点就是，切线为； 当时，切点就是，切线斜率为，切线为． 评注：只