函数值域(最值)求法.docVIP

函数值域(最值)求法小结 一、配方法 适用类型：二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型. 【例1】 求函数 的值域. 解：为便于计算不妨: 配方得:， 利用二次函数的相关知识得,从而得出:. 【例2】已知函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y的最小值. 解析：y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2＝(ex＋e－x)2－2a(ex＋e－x)＋2a2－2. 令t＝ex＋e－x，f(t)＝t2－2at＋2a2－2. ∵t≥2，∴f(t)＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2的定义域为[2，＋∞)． ∵抛物线y＝f(t)的对称轴为t＝a， ∴当a≤2且a≠0时，ymin＝f(2)＝2(a－1)2； 当a＞2时，ymin＝f(a)＝a2－2. 练习  eq \o\ac(○,1) 求y = sin2x - 6sinx + 2值域.  eq \o\ac(○,2) 当1≤x≤1000时，求 y＝(lgx)2－2lgx＋3值域. 二、换元法 【例3】 求函数的值域. 适用类型:无理函数、三角函数（用三角代换）. 解析：由于题中含有不便于计算，但如果令： 注意从而得???变形得即： 【例4】 设a，b∈R，a2＋2b2＝6，则a＋b的最小值是______． 解：∵a，b∈R，a2＋2b2＝6， ∴令a＝eq \r(6)cosα，eq \r(2)b＝eq \r(6)sinα，α∈R. ∴a＋b＝eq \r(6)cosα＋eq \r(3)sinα＝3sin(α＋φ)． ∴a＋b的最小值是－3；故填－3. 练习  eq \o\ac(○,3) 已知是圆上的点，试求的值域. 三、反函数法（变量分类法） 【例5】求函数的值域. 解：原式中x∈R，将原式化为  eq \o\ac(○,1) 由 eq \o\ac(○,1)解出x，得 ；（也可由直接得到） 因此函数值域是（－1，1） 练习 eq \o\ac(○,4) 求函数的值域. 四、不等式法 利用不等式法求解函数最值，主要是指运用均值不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常常使用的基本不等式有以下几种： a2＋b2≥2ab(a，b为实数)；eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)(a≥0，b≥0)；ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≤eq \f(a2＋b2,2)(a，b为实数)． 【例6】设x，y，z为正实数，x－2y＋3z＝0，则的最小值为________． 解析：因为x－2y＋3z＝0，所以y＝eq \f(x＋3z,2)，因此eq \f(y2,xz)＝eq \f(x2＋9z2＋6xz,4xz). 又x，z为正实数，所以由基本不等式，得eq \f(y2,xz)≥eq \f(6xz＋6xz,4xz)＝3，当且仅当x＝3z时取“＝”． 故eq \f(y2,xz)的最小值为3 练习 eq \o\ac(○,5) 当时，求函数的最值，并指出取最值时的值. 五、数形结合法 【例7】适用类型:函数本身可和其几何意义相联系的函数类型. 求函数的值域。 分析与解：由绝对值的几何意义知：表示数轴上的动点（不妨设为（x,0））到定点（2，0） ，（-5，0）的距离之和，结合图形不难得到： x 0 5 2 x 【例8】:求函数的值域. 分析与解:看到该函数的形式,我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式,将原函数视为定点(2,3)到动点的斜率,又知动点满足单位圆的方程, 从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连 线的斜率问题,作出图形观察易得的最值在直线 和圆上点的连线和圆相切时取得,从而解得: 练习 eq \o\ac(○,5) 已知,则的最小值是___________ . 六、判别式法 把函数转化为x的二次方程F(x，y)＝0，通过方程有实根，判别式Δ≥0，从而求得函数的最值．判别式法多用于求形如y＝eq \f(ax2＋bx＋c,dx2＋ex＋f)(a，d不同时为0)的分式函数的最值． 【例9】求函数y＝eq \f(x2－3x＋4,x2＋3x＋4)的最大值和最小值． 解析：∵x2＋3x＋4＝0的判别式Δ1＝32－4×1×4＝－7＜0， ∴x2＋3x＋4＞0对一切x∈R均成立．∴函数的定义域为R. ∴函数表达式可化为(y－1)x2＋(3y＋3)x＋4y－4＝0. 当y＝1时，x＝0； 当y≠1时，由x∈R，上面的一元二次方程必须有实根， ∴Δ＝(3y＋3)2－4(y－1)(4y－4)≥0， 解得eq \f(1,7)≤y≤7(y≠1)．综上