函数变换错例剖析.docVIP

函数变换错例剖析 函数知识是中学数学中的一个重要内容之一，它是高中数学各知识点的基础。因此函数问题从始而终，反复出现。然而在处理函数问题时，一般是将其变换为基本函数，利用基本函数的图像和性质，得出结论；但在变换过程中，不少学生忽视了函数定义域的变化，导致解题常出现如下错误。 一、误求函数的最值。 例1、求函数y=sinx-cosx+sinxcosx的最值。 误解：令sinx-cosx=t,则1-2sinxcosx=,即sinxcosx= 于是y=t+(1-)=-+ 所以，当t=2时，y有最大值。 剖析：求原函数的最值，转化为求二次函数y=-+的最值。由于忽视了t的取 值范围，导致误解。显然t=sinx-cosx=sin(x-)[-,]。在[-,]上y是关于t的增函数，所以当t=时=-。当t=-时=--。 二、误求函数的周期。 例2、函数f(x)=的最小正周期是（ ）。 A、 B、 C、 D、2 误解：f(x)= ==tan2x，所以T=，即选A。 剖析：求y=的周期，转化为求y=tan2x的周期。由于y=与y=tan2x的定义域不同，前者的定义域是：{xk+且x+,kZ}。后者的定义域是：{x+,kZ}。因而这两个函数不表示同一函数，其周期不一定相同。容易验证，f(0)=0,而f()不存在，所以f(0) f(0+)，即不是f(x)的周期，只有注意到定义域，才可求出正确答案为，即选B。 三、误求函数的值域。 例3、函数y=的值域是（ ）。 A、(-,] B、[-4，+) C、[-4，] D、（-4，] 误解：y==2sinx(1-sinx)=-2+。当sinx=时=。当sinx=-1时，=-4。故选C。 剖析：原函数变换为y=-2+,必须注意到sinx的取值范围。只注意到sinx[-1,1],而忽视了原函数中sinx-1,导致误解。正确答案应选D。 四、误判函数的奇偶性。 例4、函数y=是（ ）。 A、奇函数 B、偶函数 C、既是奇函数又是偶函数 D、非奇非偶 误解：y===cot，故选A。 剖析：原函数变换为y= cot,其定义域已发生变化。因而不能由y= cot的奇偶性来判断原函数的奇偶性。实质上原函数的定义域为{x2k且x2k-,kZ}。在定义域内，-不在定义域内。即原函数的定义域不关于原点对称。故选D。 五、误求函数的单调区间。 例5、求函数y=(+2x-3)的递增区间。 误解：原函数是由y=u即u=+2x-3复合而成。而函数y=u在定义域内为减函数。故求原函数的递增区间，只需求+2x-3的递减区间，所以答案是(-，-1]。 剖析：单调区间必须是定义域的子区间，因此正确答案应是定义域与所求区间(-，-1]的交集，即为(-，-3)。 六、误画函数的图像。 例6、画函数y=的图像。 误解： y===tanx 函数y=的图像如右图： 剖析：画函数y=的图像，转化为画函数y=tanx的图像。这两个函数是否为同一函数，只需考虑它们的定义域是否相同；函数y=tanx的定义域是：{xk+，kZ}。而函数y=的定义域是：{x，kZ}，所以只要在函数y=tanx的图像上去掉横坐标为k（kZ）的这些点，就可得到y=的图像。