函数定义域,值域.docVIP

函数定义域的类型和求法 常规型 1.当函数是整式时例如，那么函数的定义域是实数集R。 2.如果函数中含有分式,那么函数的分母必须不为零。 3.如果函数中含有偶次根式,那么根号内的式子必须不小于零。 4.零的零次幂没有意义,即f(x)=x0，x≠0。 5.对数的真数必须大于零。 6.对数的底数满足大于零且不等于1。 例1求函数的定义域 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 (1)已知f(x)的定义域,求f[g(x)]的定义域。 其解法是:已知f(x)的定义域是[a,b]求f[g(x)]的定义域是解a≤g(x)≤b,即为所求的定义域。 例1 已知f(x)的定义域为[－2,2],求的定义域。 （2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由a≤x≤b，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例2 已知f(2x+1)的定义域为［1,2］,求f(x)的定义域。 三.实际问题型: 函数的定义域除满足解析式外, 要注意问题的实际意义对自变量的限制,须要加倍注意,并形成意识。 例7 将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域。 四、参数型对于含参数的函数,求定义域时,必须对字母分类讨论。 例9已知f(x)的定义域为[0,1],求函数F(x)=f(x+a)+f(x-a)的定义域。 解：因为f(x)的定义域为［0,1］，即0≤x≤1。故函数F(x)的定义域为下列不等式组的解集： 五、隐含型 有些问题从表面上看并不求定义域，但是不注意定义域，往往导致错解，事实上定义域隐含在问题中，例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此，求函数的单调区间，必须先求定义域。 例10 求函数的单调区间 函数值域的类型和求法 1．观察法 对于一些简单的函数，可通过定义域及对应法则，用观察的方法求确定函数的值域。 例1．求函数的值域 2．配方法：对于含有二次三项式的题型，常常根据求解问题的要求，要用配方来求解， 即形如y=ax2+bx+c的函数，常采用配方法来求值域。 例2．求二次函数,( )的值域 3．图象法(或数形结合法) 所谓图象法，就是利用函数图象的直观性，求得函数值域的方法。例：对于方法2中，形如y=ax2+bx+c(a≠o),若对x有限制时，如果限制x在区间[m，n]上时，要结合图形，此时函数的图象是抛物线的一部分。 例3．求的值域 4．分离常量法 形如的分子，分母均为一次式的分式函数，一般采用分离常量法，因为使函数中的自变量相对集中到分子或分母时，便于利用熟悉的函数求值域。 例4．求定义域在区间[-1，1]上的函数的值域。 5．反函数法 若一个函数是定义域到值域上的一一映射，且反函数解析式易求，则可利用反函数的解析式而确定原函数的值域，这是因为反函数的定义域即是原函数的值域。 例5．求函数的值域 6．判别式法 形如 的分子、分母中之一或二者均是二次式时，一般常将函数转化为一个关于x的二次方程，先讨论二次项系数，再考虑用判别式(△)法求出y的范围。 例6．求函数的值域 7．换元法 对于一些无理函数或超越函数，(如指数函数，对数函数)通过换元把它们化成有理函数，然后利用有理函数求值域的一些方法可间接地把原函数的值域求出来。 例7．求函数的值域 解：得x关于t的函数，代入原式得到关于t的二次函数 8．利用函数的有界性 例8求函数的值域 9．利用函数的单调性 例9．求函数在[1,2]上的值域 10．利用基本不等式 注意：一正、二定、三等，一正即各项为正；二定，即和为定值积有最大值，积为定值和有最小值，三等，即等号成立的条件。 例10． 求函数，（）的值域