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函数章自主测试
本章自主测试
(总分160分,时间100分钟)
一.填空题(本大题共14小题,每小题6分,共84分)
1.方程的解是.
2.已知集合,,则.
3.若函数是奇函数,则a= .
4.已知f(x)是偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,若,则x的取值范围是.
5.若命题“,使得”是真命题,则实数的取值范围是.
6.用二分法求函数的一个零点,其参考数据如下:
f(1.6000)=0.200f(1.5875)=0.133f(1.5750)=0.067f(1.5625)=0.003f(1.5562)=-0.029f(1.5500)=-0.060根据此数据,可得方程的一个近似解(精确到0.01)为 1.56 .
7.已知函数的值域为,函数,,总,使得成立,则实数a的取值范围为.
8. 已知是以2为周期的偶函数,且当时,.若在区间内,函数有4个零点,则的取值范围是.
9.若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a0且a≠1)的图象有两个公共点,则实数a的取值范围是.
10.设函数则实数a的取值范围是 (-∞,-1) .
11.若与在区间[1,2]上都是减函数,则实数a的值范围是.
12.函数满足,且均大于,,则的最小值.
13.设若,且,则的取值范围是.
14. 某同学在研究函数 f (x) = EQ \F(x,1 + | x |) () 时,分别给出下面几个结论:
①等式在时恒成立; ②函数 f (x) 的值域为 (-1,1);
③若x1≠x2,则一定有f (x1)≠f (x2); ④函数在上有三个零点.
其中正确结论的序号有 ①②③ .(请将你认为正确的结论的序号都填上)
二.解答题(本大题共5小题,共76分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
15.已知函数 求在区间上的最大值
解:
当即时,在上单调递增,
当即时,
当时,在上单调递减,
综上,
16.设,函数是R上的偶函数.
(1)求a的值;(2)证明在上是增函数.
解:(1)对一切有,即则对一切成立.得,即.
(2)证明:设,,
由,得,,,即,故在上是增函数.
17.已知函数.
(1)求证:函数在内单调递增;
(2)若关于的方程在上有解,求的取值范围.
(1)证明:任取,则
,
,
,
,即函数在内单调递增.
(2) 解法一:
,
当时,,
的取值范围是.
解法二:解方程,得,
,
解得 .
的取值范围是.
18. 已知某食品厂需要定期购买食品配料,该厂每天需要食品配料200千克,配料的价格为元/千克,每次购买配料除需支付运输费236元外,还需支付保管费用,其标准如下: 7天以内(含7天),无论重量多少,均按10元/天支付;超出7天以外的天数,根据实际剩余配料的重量,以每天0.03元/千克支付.
(Ⅰ)当9天购买一次配料时,求该厂的配料保管费用P是多少元?
(Ⅱ)当天购买一次配料时,求该厂在这天中用于配料的总支出(元)关于的函数关系式;
(Ⅲ)求多少天购买一次配料时,才能使该厂平均每天的总支出最少?
(总支出=购买配料费+运输费+保管费)
解:(Ⅰ)当9天购买一次时,该厂用于配料的保管费用
(元)
(Ⅱ)(1)当时
(2)当时
=
∴
(Ⅲ)设该厂天购买一次配料时,平均每天的总支出为元,
则
当时
,当且仅当时,有最小值(元)
当时
=,当且仅当时取等号.
又∵
综上可知,当时,有最小值393元.
答:(Ⅰ)当9天购买一次时,该厂用于配料的保管费用P为88元;
(Ⅱ)天中用于配料的总支出;
(Ⅲ)该厂12天购买一次配料时,才能使平均每天的总支出最少,最少费用为393元.
19.定义在R上的函数,对任意,,都有,则称函数是R上的凹函数.已知二次函数.
(1)求证:当时,函数是凹函数;
(2)对任意有,求a的取值范围。
(1)证明:
,又,故,
所以当时
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