切线长及其定理详案.docVIP

切线长及其定理 教学目标 1、理解切线长的概念． 2、掌握切线长定理并会运用它解决有关问题． 重难点 1、重点：切线长定理及其运用． 2、难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题． 教学过程 复习引入 师：同学们已学过，平面上的点与圆有三种位置关系，是哪三种位置关系呢? 学生踊跃举手发言：圆内、圆上、圆外。 师：很正确。那过圆内一点可以画圆的切线吗? 生：不能 师：你能说出理由吗? 生： 师：在黑板上画了一个⊙O，在圆内取了一点A，再过A点画几条直线和圆相交。说明过A点的这些直线都是由圆内向外无限延伸出去的，都会与圆有两个交点，因此，不可能是圆的切线。 同学们都很赞同。 师：过圆上一点A，怎样画⊙O的切线呢？请同学们在草稿纸画图，并找一个学生到黑板上画（大部分同学都能根据切线的判定定理，正确画出图，而且还能根据垂线的性质说明：经过圆上一点画圆的切线有且只有一条） 师：那过圆外一点P, 怎样画圆的切线呢? 请同学们继续在草稿纸画图，并找一个学生到黑板上画。（该学生可能会出现以下几种错误） 1．连结OP 与⊙O交于A点，过A 点画OP 的垂线，得出⊙O 的切线(如图1). 2．连结OP，以P为圆心，OP为半径画圆与⊙O交于A、B，连直线AP、BP，得出⊙O 的切线(如图2)。 图1 图2 图3 师：先指出学生的错误，如图1：这条切线过P 点吗？ 图2：AP 与OA 垂直吗？然后一步步引导学生作图，得到图3，并要求学生在草稿纸自己再作出来。 探索新知 探索切线长定义 师：在⊙O的切线PA上有一条线段它很特殊，同学们能到黑板前指出来吗？ 生：线段PA。 师：既然它很特殊，那我们给它起个名字吧，叫什么呢？ 生：切线长。 师：给出标题——切线长及其定理，并给出切线长的定义。 定义：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 师：切线与切线长是一回事吗？ 生：不是，切线是一条直线，不可度量。而切线长是一条线段，可度量。 生：切线长是切线上的一段，切线长所在的直线是圆的切线。 师：再次强调切线与切线长的区???：切线是一条直线，是无限延伸的，是不可度量，而切线长是切线上的一段，是可以度量的，且它所在的直线是圆的切线。 口答：判断正误 1、过任意一点总可以作圆的两条切线 ( ) 2、从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。 ( ) 2、探索切线长定理 师：现在，请同学们，把经过圆外一点P 画⊙O 切线的这个图形，沿直线PO 对折，观察两条切线互相重合吗?两条切线长呢? 生：均是重合的。 师：那这是一个什么图形呀！ 生：轴对称图形。 师：对，这是一个轴对称图形，而且对称轴是PO，那么PO所分成的两个角∠BPO与∠APO有什么关系呢？ 生：相等 师：对，也就是说这里的切线长和角都是分别相等的。那我们能不能用这句话总结一下呢？给同学们10秒钟思考，找一个同学来表述一下。（让学生来总结，并给予补充得到，并顺势给出切线定理） 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 注：从圆外一点可以引圆的两条切线是条件，得到结论1：它们的切线长相等，结论2：这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 师：刚才我们用对称性来证明了这个定理，可不可用其它的方法来证明呢？（找学生回答） 生：可以，用全等三角形，连结OA、OB，那么Rt△OAP与Rt△OBP就是全等的，那么由全等三角形的性质可以知道，对应边PA、PB，对应角∠BPO、∠APO均相等。 师：给予掌声鼓励。 3、探究基本图形 师：现在我们继续来看这个图形中的四边形APBO。我们知道四边形的问题，常通过连对角线转化为三角形的问题解决，图中已经有一条对角线OP，那我把另一条对角线AB 也连结起来，又可以得到什么结论呢？ 生：对角线AB 把四边形分成两个等腰三角形。 生：把原来的一对全等三角形，分开成了两对较小的全等三角形，图形中有三对全等三角形。 生：它们底边上的高、中线和角平分线都在PO 上 生：PO 是弦AB 的垂径, 可以用垂径定理. 师：好的，现在我们一个一个来看。 (图中的E点是点C) 探究（一）： 师：为什么这里△PAB、△OAB是等腰三角形呢？ 生：由刚学的切线长定理可以知道AP=BP，则△PAB是等腰三角形，而OA、OB是⊙O的半径，则△OAB 也是等腰三角形。 师：掌声鼓励！连结AB 交PO 于点C，那为什么△PAC≌△PBC，△OAC≌△OBC呢？ 生：由刚学的切线长定理可以知道