刘黎明 毕业论文.docVIP

PAGE  PAGE 7 MATLAB在级数问题求解中的应用 摘要：MATLAB作为具有科学计算、符号运算和图形处理的强有力实现工具，在科技高速发达的今天，各大公司、科研机构和高校都有着广泛的运用。 在本文中，先介绍了MATLAB和级数的历史发展，然后充分地运用MATLAB软件，针对级数求和、级数敛散性的判断、级数收敛域的求解以及函数的级数展开等级数中常见的问题编写了相关程序，并通过运行所编程序，得到了合理的答案。 在文章末还通过建立M文件，针对级数的敛散性单独编写了绘图程序，通过运行所编程序绘制出了级数的部分和的分布图，通过所绘制的分布图直观的说明了级数的敛散性。 文章最后总结了运用MATLAB软件求解级数问题的优缺点。 关键词：MATLAB；级数；求和；敛散性；收敛域 一、背景介绍 MATLAB介绍 MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的简称，是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。 在科学研究和工程应用中，往往要进行大量的数学计算。为克服编制繁杂的程序等困难，美国Mathwork公司于1967年推出了“Matrix Laboratory”（缩写为Matlab）软件包，并不断更新和扩充。 MATLAB和Mathematica、Maple并称为三大数学软件。它在数学类科技应用软件中的数值计算方面首屈一指。作为具有科学计算、符号运算和图形处理等多种功能的强有力实现工具，近年来MATLAB软件包得到了学者的广泛认可，并且其应用领域已经拓展到了各行业的很多学科，在各大公司、科研机构和高校里日益普及，得到广泛应用，其自身也因此得到了迅速发展，功能也不断地进行了扩充。MATLAB可以进行矩阵运算、绘制函数和数据、实现算法、创建用户界面、连接其他编程语言的程序等，主要应用于工程计算、控制设计、信号处理与通讯、图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。 （二）级数介绍 历史上级数出现得很早。亚里士多德（公元前4世纪）就知道公比小于1（大于零）的几何级数具有和数，N.奥尔斯姆（14世纪）还证明了调和级数发散到＋∞。事实上，从古希腊（阿基米德时代）以来，积分的朴素思想用于求积（面积、体积）问题时，就一直在数量计算上以级数的形式出现。 微积分在创立的初期还为级数理论的开展提供了基本的素材。它通过自己的基本运算与级数运算的纯形式的结合，达到了一批初等函数的(幂)级数展开。这些基本观点的运用一直持续到19世纪初年，导致了丰硕的成果（主要归功于欧拉、雅各布第一 ·伯努利、J.-L.拉格朗日、傅里叶）。 同时，悖论性等式的出现促使人们逐渐地感觉到级数的无限多项之和有别于有限多项之和这一基本事实，注意到函数的级数展开的有效性表现为级数的部分和无限趋近于函数值这一收敛现象，提出了收敛定义的确切陈述，从而开始了分析学的严密化运动。微积分基本运算与级数运算结合的需要，引导人们加强或缩小收敛性而提出一致收敛的概念。然而在天文学、物理学中，甚至在柯西本人的研究工作中函数的级数展开，作为一整个函数的分析等价物，在收敛范围以外不断成功的使用，则又迫使人们推广或扩大收敛概念而提出渐近性与可和性。 二、级数求和及敛散性判断 命令：（1）symsum (f(k),k) %结果为符号表达式f(k)中的符号变量k从0到k-1的和值； （2）symsum (f(k),k,a,b) %结果为符号表达式f(k)中的符号变量k从a到b的和值。 注：若得到的结果为具体的数值，则表示该级数收敛；若得到的结果为inf，则表示该级数发散。 例1：求级数的值，并判断该级数的敛散性。 解：在命令窗口输入如下命令： 运行结果为： 由于级数，故该级数收敛。 例2：证明级数。 证明：在命令窗口输入如下命令： 运行结果为： 既得。 例3：判断调和级数的敛散性。 证明：在命令窗口输入如下命令： 运行结果为： 所以调和级数是发散的。 三、级数收敛域的求解 在求解级数收敛域的过程中，必须得先判断级数的敛散性，当级数收敛时，可以先求出该级数收敛区间的端点，然后讨论该级数在所求得端点处的敛散性，这样也就确定了级数的收敛域，最后再求出该级数在收敛域上的和函数。 例4：求级数的收敛域。 解：为判断该级数的敛散性，输入以下命令得到比式极限表达式p： 运行结果为： 显然，p的绝对值小于1，既得该级数收敛，为了求该级数的收敛域，可以输入以下命令，先求出收敛区间的两端点。 运行结果为： 既得到级数在区间（0,4）上收敛，下面再判断该级数在两端点处的敛散性， 将x=