则导数题的引申.docVIP

一则导数题的引申 周德春 题1：已知曲线C：，求经过点P（1，2）的曲线C的切线方程。 学生的解答雷同： 解：由得切线的斜率 所以过点P（1，2）的曲线C的切线方程为 ，即 分析：解题时犯了审题不清的错误。此处所求的切线只说经过P点，并没有说P点一定是切点。故切线的斜率k与f”(1)不一定相等。 退一步讲，假如所说的P点是切点，则所问问题应改成：求在点P（1，2）处的曲线C的切线方程。“在点P（1，2）处”与“经过P点”的含义不一样。 正解：设经过点P（1，2）的直线与曲线C相切于点（x0，y0），则由得 在点（x0，y0）处的切线的斜率 ① 所以在点（x0，y0）处的切线的方程为 又因为切点（x0，y0）在曲线C上，点P（1，2）在切线上，所以 ②、③两式中消去y0，得 解得或 代入①，得或 故所求切线方程为：或 此类问题的求解步骤是： （1）设出切点坐标； （2）根据切点在曲线上和已???点在切线上，切点处的导数值等于切线的斜率这三个条件列方程组，再根据需要消元求解。 （3）得出问题的答案。 引申（1）逆向问题： 已知切线方程，求曲线的方程（或参数的值）。 题2：已知曲线C：的一条切线的方程为，求实数a的值。 分析：设切点坐标为（x0，y0），则 所以 由②，得或 再消去y0得 所以a＝0或a＝4 （2）改变点P的位置（P点未必在曲线上），探求切线方程。 题3：已知曲线C：，试问：分别过点①（0，-54），②（2，0），③（，2）的曲线C的切线有几条？如果有一条，写出该切线的方向向量；如果有两条，求两条切线之间的夹角；如果有三条，写出切线方程。 分析：①设切点坐标为（x0，y0），切线的斜率为k，则有 解得 所以 故切线只有一条，其方向向量为（1，） ②设切点坐标为（x0，y0），切线的斜率为k，则有 解得 所以 故切线有两条，其夹角为 ③设切点坐标为（x0，y0），切线的斜率为k，则有 整理得 解得或 所以 故切线有三条，其方程为 或 注：过平面内任一点的三次曲线的切线至少有一条，至多有三条。但到底有几条，要根据点的位置而定。