初中三压轴题好题集.docVIP

每周一题 01.（摘自2012年，昆八中期中考试试题第25题） 如图，抛物线y=x2+bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）． 求： ⑴求抛物线的解析式及顶点D的坐标； ⑵判断△ABC的形状，证明你的结论； ⑶点M(m，0)是x轴上的一个动点， 当CM+DM的值最小时，求m的值． 解：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=x2 + bx-2上， ∴× (-1 )2 + b× (-1) –2 = 0，解得b =………………………………….（1分） ∴抛物线的解析式为y=x2-x-2. y=x2-x-2 = ( x2 -3x- 4 ) =(x-)2-, ∴顶点D的坐标为 (, -). ………………………………….（4分） （2）当x = 0时y = -2, ∴C（0，-2），OC = 2。 当y = 0时， x2-x-2 = 0， ∴x1 = -1, x2 = 4, ∴B (4,0) ∴OA = 1, OB = 4, AB = 5. ∵AB2 = 25, AC2 = OA2 + OC2 = 5, BC2 = OC2 + OB2 = 20, ∴AC2 +BC2 = AB2. ∴△ABC是直角三角形. ………………………………….（8分） （3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC + MD的值最小。 设直线C′D的解析式为y = kx + n , 则，解得n = 2, . ∴ . ∴当y = 0时， ， . ∴.………………………………….（11分） 2.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）． （1）点A的坐标是　（4，0）　，点C的坐标是　（0，3）　； （2）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）探求（2）中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由． 孙老师温馨提示：在做题过程中需要用到三角形相似，但不用三角形相似也可以，比如假期讲过的等角或同角的锐角三角函数值相等也能做出来。 希望同学们先做下，实在做不出来就看下下面的答案。 考点：二次函数综合题。731604 专题：分类讨论。分析：（1）根据B点的坐标即可求出A、C的坐标． （2）本问要分类进行讨论： ①当直线m在AC下方或与AC重合时，即当0＜t≤4时，根据平行得到两对同位角的相等可证△OMN∽△OAC，用两三角形的相似比求出面积比，即可得出S与t的函数关系式． ②当直线m在AC上方时，即当4＜t＜8时，由平行得到一对同位角相等，再由一对直角的相等得到△DAM∽△AOC，根据相似得比例，由OD，AD表示出AM的长，进而得到BM的长，再由MN∥AC，得到两对同位角的相等，从而得到△BMN∽△BAC，由相似得比例BN的长，从而得到CN的长，然后分别表示出各个三角形的面积，可用矩形OABC的面积﹣三角形BMN的面积﹣三角形OCN的面积﹣三角形OAM的面积来求得． （3）根据（2）得出的函数的性质和自变量的取值范围即可求出面积S的最大值及对应的t的值．解答：解：（1）（4，0），（0，3）； （2）当0＜t≤4时，OM=t ∵MN∥AC， ∴∠OMN=∠OAC，∠ONM=∠OCA， ∴△OMN∽△OAC， ∴=，即=， ∴ON=，则S=OM?ON=t2； 当4＜t＜8时， 如图，∵OD=t， ∴AD=t﹣4， ∵MN∥AC， ∴∠CAO=∠MDA， 又∠COA=∠MAD=90°， ∴△DAM∽△AOC，可得AM=（t﹣4）， ∴BM=6﹣， ∵MN∥AC， ∴∠BNM=∠BCA，∠BMN=∠BAC， ∴△BMN∽△BAC，可得BN=BM=8﹣t ∴CN=t﹣4 S=矩形OABC的面积﹣Rt△OAM的面积﹣Rt△MBN的面积﹣Rt△NCO的面积 =12﹣（t﹣4）﹣（8﹣t）（6﹣）﹣=t2+3t （3）有最大值． 当0＜t≤4时， ∵???物线S=t2的开口向上，在对称轴t=0的右边，S随t的增大而增大 ∴当t=4时，S可取到最大值 ×42=6；（11分） 当4＜t＜8时， ∵抛物线S=t2+3t的开口向下，它的顶点是（4，6）， ∴S＜6． 综上，当t=4时，S有最大值6． 点评：本题考查了矩形的性质，二次函数的应用、图形的面积求法等知识，其中涉及到的知识点有相似三角形的判定与性质，二次函数求最值的方法，在求有关动点问题时要注