初中三向量知识点概括.docVIP

平面向量的线性运算 ●目标导航 1.通过向量加法的探究，掌握向量加法概念，结合物理学实际理解向量加法的意义。能熟练地掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能作出已知两向量的和向量。 2.在应用活动中，理解向量加法满足交换律和结合律及表述两个运算律的几何意义。掌握有特殊位置关系的两个向量的和，比如共线向量、共起点向量、共终点向量等。 3.通过本节内容的学习，认识事物之间的相互转化，培养数学应用意识，体会数学在生活中的作用。培养类比、迁移、分类、归纳等能力。 4.通过探究活动，掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量。 5.学会分析问题和创造性地解决问题。能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量。 6.通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数??向量积的几何意义，掌握实数与向量积的运算律。 7.理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行。 8.通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取精神。通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用。 ●重难点突破 1.向量加法的运算及其几何意义。 2.对向量加法定义的理解。 3.向量的减法运算及其几何意义。 4.对向量减法定义的理解。 5.实数与向量积的意义。 6.实数与向量积的运算律。 7.两个向量共线的等价条件及其运用。 8.对向量共线的等价条件的理解运用。 ●每课一记 一、求若干个向量的和的模(或最值)的问题通常按下列步骤进行： (1)寻找或构造平行四边形，找出所求向量的关系式； (2)用已知长度的向量表示待求向量的模，有时还要利用模的重要性质。 二、1. 向量的加法定义 向量加法的定义：如图3，已知非零向量A.b，在平面内任取一点A，作=a，=b，则向量叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=+=。 求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 2. 向量加法的法则： （1）向量加法的三角形法则 在定义中所给出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法则。运用这一法则时要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以第一个向量的终点为起点，则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量。零位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。 （2）平行四边形法则 向量加法的平行四边形法则 如图4，以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线就是a与b的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。 3. 向量a，b的加法也满足交换律和结合律： ①对于零向量与任一向量，我们规定a+0=0+a=a。 ②两个数相加其结果是一个数，对应于数轴上的一个点；在数轴上的两个向量相加，它们的和仍是一个向量，对应于数轴上的一条有向线段。 ③当a，b不共线时，|a+b|＜|a|+|b|(即三角形两边之和大于第三边)； 当a，b共线且方向相同时，|a+b|=|a|+|b|； 当a，b共线且方向相反时，|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|)。其中当向量a的长度大于向量b的长度时，|a+b|=|a|-|b|；当向量a的长度小于向量b的长度时，|a+b|=|b|-|a|。 一般地，我们有|a+b|≤|a|+|b|。 ④如图5，作=a，=b，以AB.AD为邻边作ABCD，则=b，=a。 因为=+=a+b，=+=b+a，所以a+b=b+a。 如图6，因为=+=(+)+=(a+b)+c， =+=+(+)=a+(b+c)，所以(a+b)+c=a+(b+c)。 综上所述，向量的加法满足交换律和结合律。 特殊与一般，归纳与类比，数形结合，分类讨论，特别是通过知识迁移类比获得新知识的过程与方法。 三、用向量法解决物理问题的步骤为：先用向量表示物理量，再进行向量运算，最后回扣物理问题，解决问题。 四、向量也有减法运算。 由于方向反转两次仍回到原来的方向，因此a和-a互为相反向量。 于是-(-a)=a。 我们规定，零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量与其相反向量的和是零向量，即a+(-a)=(-a)+a=0。 所以，如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0。 1. 平行四边形法则 图1 如图1，设向量=b，=a，则=-b，由向量减法的定义，知=a+(-b)=a-b。 又b+=a，所以=a-b。 由此，我们得到a-b的作图方法。 图2 2. 三角形法则 如图2，已知a、b，在平面内任取一点O，作=a，=b，则=a-b，即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量，这是向量减法的几何意义。 （1）定义向量减法运算之前，应先引进相反向量。 与数x的相反数是-x类似，我们规定，与a长度相等，方向相反的量，