初中三压轴题1.docVIP

一、二次函数 1．已知抛物线y＝－x 2＋3x＋4交y轴于点A，交x轴于点B、C（点B在点C的右侧），过点A作垂直于y轴的直线l．点P是直线l下方的抛物线上一动点，过点P作直线PQ平行于y轴交直线l于点Q，连接AP． （1）写出A，B，C三点的坐标； （2）当点P在抛物线对称轴的右侧时 ①若以A、P、Q三点构成的三角形与△AOC相似，求出点P的坐标； x O y C B Q l A M P ②若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点M．是否存在这样的点P，使得点M落在坐标轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）A（0，4），B（4，0），C（－1，0） x O y C B Q l A P （2）①若以A、P、Q三点构成的三角形与△AOC相似 则  EQ \F( AQ , AO ) ＝  EQ \F( PQ , CO ) 或  EQ \F( AQ , CO ) ＝  EQ \F( PQ , AO ) 设点P的横坐标为x，则PQ＝4－(－x 2＋3x＋4 )＝x 2－3x ∴ EQ \F( x , 4 ) ＝  EQ \F( x 2－3x , 1 ) 或  EQ \F( x , 1 ) ＝  EQ \F( x 2－3x , 4 ) 解得x＝  EQ \F(13, 4 ) 或x＝7，均在抛物线对称轴的右侧 x O y C B Q l A E P M F ∴点P的坐标为（ EQ \F(13, 4 ) ， EQ \F(51, 16 )）或（7，－24） ②假设存在，设（x，－x 2＋3x＋4），则Q（x，4），PQ＝x 2－3x （i）当点M落在x轴上时，PM＝PQ＝x 2－3x 过M作y轴的平行线EF，交直线l于E，过点P作PF⊥EF于F 易证△AEM∽△MFP，得  EQ \F( AM , ME ) ＝  EQ \F( MP , PF ) ∵ME＝OA＝4，AM＝AQ＝x，PM＝PQ＝x 2－3x ∴ EQ \F( x , 4 ) ＝  EQ \F( x 2－3x , PF) ，∴PF＝4x－12，∴OM＝( 4x－12 )－x＝3x－12 在Rt△AOM中，OM 2＋OA 2＝AM 2 ∴( 4x－12 )2＋4 2＝x 2，解得x1＝4，x2＝5，均在抛物线对称轴的右侧 ∴P1（4，0），P2（5，－6） （ii）当点M落在y轴上时，则∠PAQ＝∠PAM＝45° ∴△APQ是等腰直角三角形，∴PQ＝AQ ∴x 2－3x＝x，解得x＝0（舍去）或x＝4 ∴存在点P1（4，0）或P2（5，－6），使得点M落在坐标轴上 2. 如图，已知抛物线y＝  EQ \F(1, 4 ) x 2－  EQ \F(1, 4 )( b＋1)x＋  EQ \F(b, 4 )（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C． （1）点B的坐标为____________，点C的坐标为____________（用含b的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由． x O y C A B P 解：（1）B（b，0），C（0， EQ \F( b , 4 ) ） （2）假设存在这样的点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形 设点P坐标为（x，y），连接OP x O y C A B P D E 则S四边形PCOB ＝S△PCO ＋ S△POB ＝  EQ \F(1, 2 )· EQ \F( b , 4 ) ·x＋  EQ \F(1, 2 )·b·y＝2b ∴x＋4y＝16 ① 过P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E ∴∠PEO＝∠EOD＝∠ODP＝90° ∴四边形PEOD是矩形，∴∠EPD＝90° ∵△PCB是等腰直角三角形，∴PC＝PB，∠CPB＝90° ∴∠EPC＝∠DPB ∴△PEC≌△PDB，∴PE＝PD 即x＝y ② 由①、② QUOTE x=yx+4y=16 解得：x＝  EQ \F(16, 5 )  QUOTE x=165y=165 ，y＝  EQ \F(16, 5 ) 由△PEC≌△