初中中数学竞赛辅导资料十进制的记数法.docVIP

PAGE  初中数学竞赛辅导资料(25) 十进制的记数法 甲内容提要 十进制的记数法就是用0，1，2…9十个数码记数的方法，位率是逢十进一。底数为10的各整数次幂，恰好是十进制数的各个位数： 100=1(个位数—第1位)， 101=10(十位上的数第2位)， 102=100(百位上的数第3位)，…10n(第n+1位上的数) 例如54307记作5×104+4×103+3×102+0×101+7×100 十进制的n位数(n为正整数)， 记作： 10n-1a1+10n-2a2+10n-3+…+102an-2+10an-1+an 其中最高位a1≠0，即0a1≤9，其它是0≤a1,a2,a3…an≤9 各位上的数字相同的正整数记法： 例如∵999=1000－1＝103－1，9999＝104－1，∴＝10n-1 ＝，＝，＝ 4 解答有关十进制数的问题，常遇到所列方程，少于未知数的个数，这时需要根据各位上的数字都是表示0到9的整数，这一性质进行讨论。 乙例题 一个六位数的最高位是1，若把1移作个位数，其余各数的大小和顺序都不变，则所得的新六位数恰好是原数的3倍，求原六位数。 解：设原六位数1右边的五位数为x,那么原六位数可记作1×105＋x ，新六位数为10x＋1，　　　 　根据题意，得　10x＋1＝3（1×105＋x）　　7x=299999 x=42857 ∴原六位数是142857 设n为正整数，计算×＋1 解：原数＝（10　n –1）×（10　n –1）+1×10n+10n－1 　　　　＝102n－2×10n+1+10n+10n－1 　　　　＝102n 试证明12，1122，111222，……，这些数都是两个相邻的正整数的积 证明：12＝3×4，　1122＝33×34，111222＝333×334 注意到333×334＝333×（333＋1）＝×（＋1） 由经验归纳法，得 ＝×10n+ ＝（＋） ＝（ 上述结论证明了各数都是两个相邻的正整数的积 试证明：任何一个四位正整数，如果四个数字和是9的倍数，那么这个四位数必能被9整除。并把它推广到n位正整数，也有同样的结论。 证明：设一个四位数为103a+102b+10c+d, 根据题意得 　a+b+c+d=9k (k为正整数)，∴d=9k－a －b－c,代入原四位数，得 103a+102b+10c＋9k－a －b－c＝（103－1）a+(102-1)b+9c+9k =9(111a+11b+c+k) ∵111a+11b+c+k是整数， ∴四位数103a+102b+10c+d,能9被整除 推广到n位正整数：　n位正整数记作10n－1a1+10n-2a2+…+10an-1+an（1） ∵a1+a2+…+an-1+an=9k(k是正整数) ∴an=9k－a1－a2－…－an-1　　　代入（1）得 原数＝10n－1a1+10n-2a2+…+10an-1+9k－a1－a2－…－an-1　 ＝（10n-1－1）a1+（10n-2－1）a2+…+9an-1+9k ∵10n-1－1，10n-2－1，…10－1分别表示，，…9 ∴原数＝9（a1＋a2＋…＋an+k） ∴这个n位正整数必能被9整除 已知：有一个三位数除以11，其商是这个三位数的三个数字和。 求：这个三位数。 解：设这个三位数为102a+10b+c 其中0＜a≤9, 0≤b,c≤9 ＝9a＋b＋且－8 ≤a-b+c≤18 ∵它能被11整除，∴a-b+c只能是11或0。 当a-b+c＝11时，商是9a+b+1, 根据题意得9a+b+1＝a+b+c，c=8a+1 a只能是1，c=9, b=a+c-11=-1不合题意 当a-b+c＝0时，商是9a+b , 9a+b= a+b+c且a-b+c＝11 解得　　　　答这个数是198 一个正整数十位上的数字比个位数大2，将这个数的各位数字的顺序颠倒过来，再加上原数，其和是8877，求这个正整数。 解：∵顺序颠倒过来后,两个数的和是8877, ∴可知它们都是四位数 设原四位数的千位、百位、十位上的数字分别为a,b,c则个位数是c-2, 根据两个数的和是8877试用列竖式讨论答案 a b c (c-2) 从个位看 (c-2)+a=7或17 +) (c-2) c b a 从千位看a+(c-2)=8 (没进入万位) 8 8 7 7 可知 (c-2)+a=7 即c+a=9 (1) 从十位上看b+c=7或17 从百位上看c+b=8 (进入千