初中中数学竞赛专题选(初中三)-函数的图象.docVIP

教学视频-公开课,优质课,展示课,课堂实录(/) PAGE  教师之家-免费中小学教学资源下载网(/) 初中数学竞赛专题选讲（初三.17） 　　　函数的图象 一、内容提要 函数的图象定义：在直角坐标系中，以自变量x为横坐标和以它的函数y 的对应值为纵坐标的点的集合，叫做函数y=f(x)的图象. 例如 一次函数y=kx+b (k,b 是常数，k ≠0)的图象是一条直线l. l 上的任一点p0(x0,y0) 的坐标，适合等式y=kx+b, 即y0=kx0+b； 若y1=kx1+b，则点p1(x1,y1) 在直线l 上. 方程的图象：我们把y=kx+b 看作是关于x,　y 的 二元 一次方程kx－y+b=0,　那么直线l就是以这个方程的解为坐标 的点的集合，我们把这条直线叫做二元一次方程的图象. 二元一次方程ax+by+c=0 (a,b,c是常数，a≠0,b≠0) 叫做 直线方程. 　一般地，在直角坐标系中，如果某曲线是以某二元方程的解为坐标的 点的集合，那么这曲线就叫做这个方程的图象.　例如： 二元二次方程y=ax2+bx+c(a≠0) (即二次函数)的图象是抛物线； 二元分式方程y=(k≠0) (即反比例函数)的图象是双曲线. 函数的图象能直观地反映自变量x 与函数y 的对应规律.　例如： 由图象的最高，最低点可看函数的最大，最小值； 由图象的上升，下降反映函数 y是随x的增大而增大(或减小)； 函数y=f(x)的图象在横轴的上方，下方或轴上，分别表示y0,y0,y=0. 图象所对应的横坐标就是不等式f(x)0,f(x)0 的解集和方程f(x)=0的解. 两个函数图象的交点坐标，就是这两个图象所表示的两个方程(即函数解析式)的公共解.等等 画函数图象一般是： ①应先确定自变量的取值范围.　要使代数式有意义，并使代数式所表示的实际问题有意义，还要注意是否连续，是否有界. ②一般用描点法，但对一次函数(二元一次方程)的图象，因它是直线(包括射线、线段)，所以可采用两点法.线段一定要画出端点(包括临界点). ③对含有绝对值符号(或其他特殊符号)的解析式 ，应按定义对自变量分区讨论，写成几个解析式. 二、例题 例1.　右图是二次函数y=ax2+bx+c　(a≠0)， 试决定a,　b,　c 及b2－4ac的符号. 解：∵抛物线开口向下，　　　∴a0. ∵对称轴在原点右边，∴x=－0且a0, ∴b0. ∵抛物线与纵轴的交点在正半轴上，　　∴截距c0. ∵抛物线与横轴有两个交点， 　　　∴b2－4ac0. 例2. 已知：抛物线f：y=－(x－2)2+5.　 试写出把f向左平行移动2个单位后，所得的曲线f1的方程；以及f 关于x 轴对称的曲线f2 的方程.　画出f1和f2的略图，并求： x的值什么范围，曲线f1和f2都是下降的； x的值在什么范围，曲线f1和f2围成一个封闭图形； 求在f1和f2围成封闭图形上，平行于y轴的线段的长度的最大值. （1980年福建省中招试题） 解：f1　：y=－x2+5 　(由顶点横坐标变化确定的)， f2 ：y=(x－2)2－5 (由开口方向相反确定的). 　　（1）当x≥0时，f1下降， 当x≤2时，f2下降， ∴当0≤x≤2时，曲线f1和f2都是下降的. 　（2）求两曲线的交点横坐标， 即解方程组 x2－2x－3=0 . ∴x=－1；或x=3. 　　∴当－1≤x ≤3时，曲线f1和f2围成一个封闭图形. (3)封闭图形上，平行于y轴的线段的长度， 就是对应于同一个横坐标，两曲线上的点 的纵坐标的差. 在区间 –1≤x ≤3内， 设f1 上的点P1(x,y1), 　f2 上的点P2(x,y2)， 求y1－y2的最大值，可用配方法： y1－y2　＝　(－x2+5)－[ (x－2)2－5] ＝－2x2+4x+6　 ＝－2(x－1)2+8. 　　　　∵－20，　　　　∴y1－y2有最大值. 当x=1 时，y1－y2的值最大是8. 即线段长度的最大值是8. 例3.　画函数y=的图象. 解： 自变量x的取值范围是全体实数，下面分区讨论： 当x－1 时，　　　y=－(x+1)－(x－2)=－2x+1； 当－1 ≤x2时，　　y=x+1－(x－2)=3 ； 当x ≥2时， 　　　y=x+1+x－2=2x－1. 　　　　　　即y== x…－2－123…y=－2x+1(x－1)…53y=3(－1≤x2)33y=2x－1(x≥2)35…　　∴　画函数y=的图象如下图： 例4. 画方程[x]2+[y]2=1 的图象， [m] 表示不超过m 的最大整数. (1985年徐州市初中数学竞赛题