割补法在解题中的应用.docVIP

巧用割补，化难为易 顾介远 割补法就是把图形切开，把切下来的那部分移动到其他位置，使题目便于解答；割补法是立体几何解题中的常用技巧，巧妙地对几何体进行分割与拼补，能够简化解题过程。 例如：已知正四面体的棱长为，求其内切球和外接球的表面积与体积。 分析：本题的解题关键是求出正四面体的内切球和外接球的半径，用何种方法，怎样思维就成了解决本题的关键。 由几何图形我们不难看出球和正四面体都是对称的几何体，所以正四面体的外接球、内切球的球心与正四面体的几何中心重合。将球心与正四面体的四个顶点连线，就可将这个正四面体分割成四个正四棱锥，这四个正四棱锥的底面分别是正四面体的侧面和底面，高是该正四面体的内切球的半径，侧棱为正四面体的外接球的半径，因此它们的体积相等且这四个正四棱锥的体积的和为正四面体的体积，从而我们可以得出结论： 正四面体的外接球的半径是它的内切球的半径的3倍，它们的和等于该正四面的高。 令正四面体的高为h，则h2=SA2-(AE)2 =()2-()2,所以h=；故该正四面体的外接球的半径R=h=，其表面积为S=3；其体积为V=。该正四面体的内切球半径r=h=，其表面积为s=，其体积v=。 如果把思维放开，这个正四面体可以看作是一个棱长为1的正方体ABCD-A/B/C/D/，“切去”四个“角”所对应的三棱锥得到正四面体C/-A/BD，则该四面体与正方体具有公共的外接球，此时外接球的直径等于该正方体的体对角线的长，即2R=，所以R=，再根据R：r=3：1的关系，该四面体的内切球半径r就很容易求得了。 高中数学学习的本质是提高学习者的思维品质，快快进行“头脑体操”的锻炼吧，它给你带来快乐和成就感一定会超过鸟叔的《江南style》！