2004年数学一试题详解和评注.doc

2004年数学一试题 详解和评注 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1）曲线y=lnx上与直线垂直的切线方程为 . 【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标。 【详解】 由，得x=1, 可见切点为，于是所求的切线方程为 ， 即 . 【评注】 本题也可先设切点为，曲线y=lnx过此切点的导数为，得，由此可知所求切线方程为， 即 . （2）已知，且f(1)=0, 则f(x)= . 【分析】 先求出的表达式，再积分即可。 【详解】 令，则，于是有 ， 即 积分得 . 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，故所求函数为f(x)= . 【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分。 （3）设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分的值为 . 【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。 【详解】 正???圆周在第一象限中的部分，可表示为 于是 = 【评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可. （4）欧拉方程的通解为 . 【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换化为常系数线性齐次微分方程即可。 【详解】 令，则 ， ， 代入原方程，整理得 ， 解此方程，得通解为 【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令，则欧拉方程 ， 可化为 （5）设矩阵，矩阵B满足，其中为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则 . 【分析】 可先用公式进行化简 【详解】 已知等式两边同时右乘A，得 ， 而，于是有 ， 即 ， 再两边取行列式，有 ， 而 ，故所求行列式为 【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵，一般均应先利用公式进行化简。 （6）设随机变量X服从参数为的指数分布，则= . 【分析】 已知连续型随机变量X的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可。 【详解】 由题设，知，于是 = = 【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算。 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）把时的无穷小量，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是 (A) . (B) . (C) . (D) . [ B ] 【分析】 先两两进行比较，再排出次序即可. 【详解】 ，可排除(C),(D)选项， 又 =，可见是比低阶的无穷小量，故应选(B). 【评注】 本题是无穷小量的比较问题，也可先将分别与进行比较，再确定相互的高低次序. （8）设函数f(x)连续，且则存在，使得 (A) f(x)在（0，内单调增加. （B）f(x)在内单调减少. (C) 对任意的有f(x)f(0) . (D) 对任意的有f(x)f(0) . [ C ] 【分析】 函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可。 【详解】 由导数的定义，知 ， 根据保号性，知存在，当时，有 即当时，f(x)f(0); 而当时，有f(x)f(0). 故应选(C). 【评注】 题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论。 （9）设为正项级数，下列结论中正确的是 (A) 若=0，则级数收敛. （B） 若存在非零常数，使得，则级数发散. (C) 若级数收敛，则. 若级数发散, 则存在非零常数，使得. [ B ] 【分析】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项. 【详解】 取，则=0，但发散，排除(A)，(D)； 又取，则级数收敛，但，排除(C), 故应选(B). 【评注】 本题也可用比较判别法的极限形式， ，而级数发散，因此级数也发散，故应选(B). （10）设f(x)为连续函数，，则等于 (A) 2f(2).