3．转化与化归思想.doc

“五大”数学思想在解题中的运用 1．换元思想 换元法又称变量替换法，即根据所要求解的式子的结构特征，巧妙地设置新的变量来替代原来表达式中的某些式子或变量，对新的变量求出结果后,返回去再求出原变量的结果.换元法通过引入新的变量，将分散的条件联系起来，使超越式化为有理式、高次式化为低次式、隐性关系式化为显性关系式，从而达到化繁为简、变未知为已知的目的. 例1已知，求. 分析：采用整体思想，可把中的“”看作一个整体，然后采用另一参数替代. 解：令，则代入原式有 . ∴. 评注：将接受对象“”换作另一个元(字母)“”，然后从中解出与的关系，代入原式中便可求出关于“”的函数关系，此即为函数解析式，但在利用这种方法时应注意自变量的取值范围的变化情况，否则就得不到正确的表达式.此法是求函数解析式的常用方法. 例2设是定义在上的一个函数，且有，求. 分析：欲求，必须消去已知中的，不难想到再寻找到一个方程.可由与的倒数关系，用去替换已知式中的便可得到另一个方程.然后联立解之可得. 解：　　　　　　　　　　　　　　　　 ① 用代换，又得 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　② 将②代入①消去，得， 又∵，∴， 例3对于R，不等式恒成立，求实数的范围. 分析：观察不等式的结构特点，有些局部地方重复出现，不妨换元，使复杂的不等式问题变成熟知的一元二次不等式问题. 解：设，则原不等式① ∵R时，不等式恒成立，但当时，①式变为与条件R不符，∴. 当时，①式对R恒成立 ，即. 评注：本题使用换元法起到了沟通问题的条件和结论的中介作用，并使运算得以简化，令人耳目一新. 例4已知是不为的正数，，且有和，求证：顺次成等比数列. 证明：令，∴ ∵，∴. ∴，. ∴，∵均不为0， ∴成等比数列. 评注：换元沟通了已知与未知，起到了桥梁作用. 2．数形结合思想 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识，数形结合的转化，可以培养思维的灵活性，形象性，使问题化难为易，化抽象为具体. 通过“形”往往可以解决用“??”很难解决的问题. 例5已知N，，，，求和. 解：题目中出现、、、、多种集合，就应想到利用文氏图解决问题. 第一步：求全集N 第二步：将，，中的元素在图中依次定位. 第三步：将元素4、7定位. 第四步：根据图中的元素位置得，. 2,3 1,6 4,7 0，5 例6对一切实数，若恒成立，求实数的取值范围。 分析：充分考虑绝对值的几何意义，从距离关系上分析的几何意义. · · 5 x A B P · 解：根据绝对值的几何意义，可看作点到点的距离， 可看作点到的距离. （如图） 由于， 因此线段上每一点到、的距离和都等于7. 当点在线段延长线上或在延长线上时，一定有 即数轴上任一点到、的距离之和都大于或等于7. ∴要使恒成立，必有≤7. 评注：数形结合是数学中的一种基本思维方法，要养成从数、形两个方面去思考问题的习惯，这对高中数学的学习是极为有益的. 例7解关于的不等式. 分析：此题中，虽然不等式两边均为非负的，但是我们不宜采用两边平方的方法，因为如果两边平方就转化为解一个关于的一元四次不等式，对解题能力的要求很高，用分类讨论的思想，则因为讨论情况较多而显得非常复杂，而且容易出错.如果我们采用含绝对值不等式的性质 “”则可化为求四个一元二次不等式的解集，同样也非常烦琐.而如果我们能巧妙地运用数形结合的思想，此题就可迎刃而解。 解：设，，在直角坐标系中作出这两个函数的图象（如图），从图象中可知满足原不等式的解集为函数的图象在函数的图象的下方部分的点的横坐标，即A、B两点横坐标之间和C、D两点横坐标之间的部分，求出A、B、C、D四点的横坐标分别为、、、，所以原不等式的解集为. 评注：利用函数的图象不仅可以直观地讨论函数的性质，而且可以解决与函数有关的问题，如它在解不等式、方程中的应用显然体现的是一种创新意识，同时也体会到了数学的简明性，这正如庞加莱所说的“数学的优美感，不过是问题的解答适合我们的心灵需要而产生的一种满足感”. 例8当时，恒成立，求的取值范围. 1 分析： 由已知条件，可作出如下图形，不难得出.要使恒成立，只需即可. 解： 由图形可知，，∵当时，恒成立, ∴ ∴,又∵， ∴. 评注：以“形”代算，技巧性很强，通过图形的直观显现，答案直接跃然纸上. 3．转化与化归思想 所谓转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易的问题，将未解决的问题变换转化为已解决的问题. 转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法.数学中一切问题的解决都离不开转化与化归，数形结