一个抽象的GROWWALL不等式的及其应用-数学与统计学院.doc

PAGE  PAGE 6 目 录 摘要………………………………………………………………………1 引言………………………………………………………………………1 Gronwall不等式及其应用 数学与计算科学学院 数学与应用数学专业 刘细金 学号:2002144012 【摘要】本文将通常的不等式推广到无穷维的有序空间上,然后把不等式用于研究常微分方程解的唯一性,解的有界性,解的整体存在性及解的稳定性，获得一系列有用的结果。同时还给出许多应用例子，其中大多数是一般大学教科书所没有的. 【关键词】Gronwall不等式； 解的唯一性; 有界性; 整体存在性及稳定性 1. 引言 众所周知, Gronwall不等式在分析的许多领域,例如常微分方程及积分方程,都有着重要的应用.本文将一维空间(即实数范围内)的不等式推广到无穷维的有序空间中去,然后给出它在常微分方程中的若干重要的应用.其中的一些定理是新给出的或对某些教科书中的定理给出新的证明. 2. 一个抽象的Gronwall不等式 设为空间中的一个锥，即是中的一个非空凸闭集，并满足： ( = 1 \* roman i) ( = 2 \* roman ii) 给定E中的一个锥P后,则可在E中的元素间引入半序:,则E按上述定义的半序成为一个有序的Banach空间。又若存在常数,使当时,恒有,则称锥P是正规的,而这里的正数N称为正规常数, 为E中的零元素，有了上述概念之后,我们就可以将实数空间中的Gronwall不等式推广到无穷维有序的Banach空间上. 定理2.1 设P是实Banach空间E中的正规锥, N为正规常数, E按上述定义的半序成为有序的Banach空间.设,(这里及以后假定为n维实的欧几里得空间),满足: 则 当时，即由 可得 证明 首先设，则由锥P正规及（1.1）得 ( = 1 \* roman i)证法1 令 则在上可导，且, 对上式从a到积分得 当时，由（1.3）得 所以有 从而 而 为任意小正数，故只能 即 证法2 令 且有 此不等式两边同时从到积分, 得到 得到 ( = 2 \* roman ii) 当时,由上式得 即 在定理1.1中取,则为中的正规锥(正规常数为1), 由导??的半序成为有序的Banach空间,其中的范数由下列之一给出 则由定理1.1可得 推论2.1 设满足:存在常数使得 则 其中,它们的范数为中的范数。特别当时，可得 若在推论1.1中,取,则得到一般教科书中所介绍的Gronwall不等式. 推论2.2 (Gronwall不等式) 设为常数满足 则有 特别当时, 3. Gronwall不等式对常微分方程初值问题解的唯一性的应用 定理3.1 设为实Banach空间, 满足:存在上的非负的连续函数,使都有 又设，则当初值问题 (2.1) 有连续可微的解时, 解必唯一. 【参考文献】 [1] 华东师范大学数学系. 数学分析[M]. 北京:高等教育出版社，1991年（第二版）. [2] 江泽坚. 孙善利.泛函分析[M].北京:高等教育出版社, 1994年（第二版）. [3] 郭大钧. 非线性泛函分析[M].济南:山东科学技术出版社, 2001年（第二版）. [4] 丁同仁, 李承治.常微分方程教程[M]. 北京:高等教育出版社, 2004年（第二版）. [5] 尤秉礼. 常微分方程补充教程[M].北京:高等教育出版社, 1981年. [6] Wolfgang Walter. Ordinary Differential Equations[M]. Beijing: World Publishing Corporation, 2003. 指导教师:林壮鹏副教授 Gronwall Inequality and its Applications 【Abstract】In this thesis, we generalize the usual Gronwall Inequality to Banach space which is n dimensions. By using generalized Gronwall Inequality we study the uniqueness, limitation, existence and stability of the solutions of differential equations. Thus