3.3子群同构.doc

§3.3 子群 同构 G, (, e是一个群，G, (, e的子结构不一定是一个群。如Z, (, 0的子结构N, (, 0就不是群。 3.3.1 定理 G, (, e是群，H ( G，如果((a(H)(a(1(H)，则G, (, e的子结构H, (, e是群。 证 (1) 因为((a, b, c(G)((a(b)(c = a((b(c))，所以 ((a, b, c(H)((a(b)(c = a((b(c))。 (2) 因为((a(G)( e(a = a)，所以((a(G)( e(a = a)。 (3) (a(H，由条件得a(1(H，因为a(1(H且a(1(a = e，所以((b(H)(b(a = e)。 如果G, (, e的子结构H, (, e是群，就称H, (, e是G, (, e的子群，记为H＜G。 加上H, (, e是子结构的条件，得： 3.3.2 定理 G, (, e是群，H ( G，如果 (1) e(H； (2) ((a, b(H)(a(b(H)任给a, b(H，都有a(b(H； (3) ((a(H)(a(1(H) 则G, (, e的子结构H, (, e是群。 3.3.3 例 对于任何群G都有G＜G和{e}＜G，这两个子群称为G的平凡子群，G的其它子群称为G的非平凡子群。 如果H＜G且H(G，则称H是G的真子群。 3.3.4 定理 子群的性质 (1) 如果H＜K且K＜G，则H＜G。 (2) 如果H＜G，K＜G且H ( K，则H＜K。■ 定理2.2.3的(1)称为子群的传递性。 3.3.5 例 n(0，nZ = {na | a(Z }是Z的子群，证明如下： (1) 0 = n0(nZ。 (2) 任给na, nb(nZ，都有na(nb = n(a(b)(nZ。 (3) 任给na(nZ ，都有((na) = n((a)(nZ。 0Z = {0}，1Z = Z，当n(2时，nZ是Z是真子群。 3.3.6 例 n(1，Un是n次单位根的集合，即Un = {x | xn = 1}，则Un＜C*，证明如下： (1) 1n = 1，所以1(Un； (2) 任给a, b(Un，都有an = 1且bn = 1，所以(ab)n = anbn = 1，因此ab(Un； (3) 任给a(Un，都有an = 1，所以(a(1)n = (an)(1 = 1，因此 a(1(Un。 U1 = {1}，U2 = {1, (1}，U4 = {1, (1, i, (i}，U1和U2还是R*的子群。 3.3.7 例 M的全置换群S(M)的任何一个子群称为M的置换群。任给X ( M，令G = {( | ([X] = X}，则G＜S(M)，证明如下： (1) IM[X] = X ，所以IM(H。 (2) 任给(, ((H，都有([X] = X且([X] = X，所以 (?([X] = ([([X]] = ([X] = X， 因此(?((H。 (3) 任给((H，都有([X] = X，所以 ((1[X] = ((1[([X]] = X， 因此((1(H。 3.3.8 例 a1,…, an是(1,…, n的)一个全排列，定义 D(a1,…, an) = (i(j(ai(aj)， 则D(a1,…, an)(0。由排列的知识可知D(a1,…, an)有以下性质： (1) 任给全排列a1,…, an和b1,…, bn，都有= (1； (2) 任给全排列a1,…, an和b1,…, bn，任给((Sn，都有 =。 任给((Sn，定义sgn(() =，则sgn(() = (1。 如果sgn(() = 1，则称(是偶置换，如果sgn(() = (1，则称(是奇置换。因为sgn(()有以下性质： (1) sgn(e) = 1 (2) sgn((?() = sgn(()sgn(() (3) sgn(((1) = sgn(() 所以Sn中所有偶置换形成Sn的一个子群，称为(n个文字的)交错群，记为An。 如A4 = {e, (123), (124), (132), (134), (142), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23)} 由排列的知识还可知偶置换等于奇置换，所以| An | = n!。 3.3.9 例 B = {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}＜A4。 3.3.10 例 G是一个群，任给a(G，令 (a：G(G (a(x) = ax 则(a(S(G)，(a称为(由a确定的)左平移。令GL = {(a | a(G}，则GL＜S(G)，证明如下： (1) 任给x，都有iG(x) = x = ex = (e(x)，所以iG = (e(GL。 (2) 设