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一道定积分题目的几种解法 定积分是中学数学中新引进的一个数学概念，在物理中它可以用来求物体运动的位移、力作的功，在数学中我们常用它来求解一些曲边图形的面积. 在数学中，定积分的几何意义是表示由直线x=a,x=b,y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积，根据定积分的几何意义，如果所求解图形的面积仅由一条曲线y=f(x)与直线x=a,x=b和x轴围成，那么图形的面积可表示为；如果所求解图形的面积是由两条曲线与直线x=a,x=b围成，则图形的面积可表示为.下面通过一道例题来谈谈用定积分求曲边图形面积的常用解题思路.. 题目: 求抛物线与直线所围成的图形的面积. 思路一:根据定积分的几何意义，本题可以x轴为界线，将所求面积分成上下两部分，而每部分图形都是由一条曲线与x轴和两条直线围成,其中是曲边三角形的面积减去一个三角形的面积，是曲边梯形与一个三角形面积的和. 解：如图，先求出??线与曲线的交点， y 由方程组解得 A 故交点坐标为.由上图可以看出,所求图形的面积 0 x 由和两部分(即图中阴影部分)组成.过交点A做x轴的 垂线,则 , 评注:此种方法是严格按照定积分的几何意义来处理的，符合上边分析的第一种情况。 思路二:根据定积分的几何意义，我们也可以将图形进行另一种划分，那就是以直线 x=1为分界线将图形分成两部分,而每一部分都是由两条曲线与两条直线围成.其中左边是由曲线与直线x=0,x=1围成,右边是由曲线围成. 解：我们还可以把图形分为如图和两部分, 故所求面积为: 评注: 此种方法完全符合上边分析的第二种情况，把复杂的图形简单化，从而很容易求解。 思路三:在定积分的定义中，我们是将x所属的区间进行了分割，然后求和取极限，也就是说x被定义为了积分变量。据此，我们可以改变一下思维方式，将y看做是函数的自变量，对y所在的区间进行分割，那么y就变成了积分变量，然后求和取极限,因此，本题就变成了关于y的积分。 解：将y看作是积分变量,则面积为 评注:本种方法将y进行了分割，将y当做是积分变量,这也是我们常用的一种思维方法,,变换思维角度有助于学生对定积分的定义有着进一步的理解. 比较上面三种解法可以发现,利用定积分求图形面积时,适当地分割图形或适当地选择积分变量可以简化解题过程.