以形助数在高中数学解题中的应用黄倩二等奖摘要以形助数就是.doc

PAGE  PAGE 10 余杭区2012年学会论文 数学学科 “以形助数”在高中数学解题中的应用 黄倩：二等奖 摘要： “以形助数”就是根据“数(式)”的结构特征，构造出与之相对应的 “图形”，利用“图形”的几何性质，解决“数(式)”的问题.“以形助数”的关键是能够赋予“数量关系”的“几何意义”，把“数”的问题转化为“形”的问题来解.本文通过几类典型问题的解析，揭示“以形助数”在高中数学解题应用中的广泛性与深刻性，探究“以形助数”解题的一般方法与规律. 关键词： 数形结合 以形助数 所谓数形结合思想，就是把“数量关系”与“几何图形”相互转化，通过“以形助数”或“以数辅形”解题的一种思想方法. “以形助数”即根据“数（式）”的结构特征，构造出与之相对应的“图形”，利用图形的几何性质，解决“数（式）”的问题. “以数辅形”即将图形的部分信息或全部信息转化成“数”的信息，弱化或消除对“形”的推理，从而将“形”的问题转化成数量关系来解决，解析法就是“以数辅形”的典范.本文侧重于“以形助数”解题方法的探究. 运用“以形助数”方法解题，不仅易于直观地寻找解题途径，而且能避免繁杂的运算和推理，简化解题过程.由于解答选择题和填空题不需写出过程，因此“以形助数”解答选择题和填空题时更显优越.在用“以形助数”解题的过程中，有些问题可以借助图形分析判断，作出定形、定量、定性的结论.我们在平时训练中要注意培养学生这种思想方法，养成见数想图的习惯，巧妙运用以形助数的思想方法来解决一些函数、方程、不等式等问题. 下面列举“以形助数”解题的典型问题,探究“以形助数”解题的一般方法与规律. 一、赋予问题的几何意义，转化为距离、斜率、截距解题 1.转化为两点间的距离问题 例1 求函数的最小值. 解析： （图1） 评注：①此题转化为求轴上一动点到两定点的距离和的最小值问题；②两定点坐标不唯一，但两定点应选在轴的两侧，读者注意体会. 2.转化为直线的斜率问题 例2 方程有且只有两个不同的实数解，则以下有关两根关系的结论不正确的是（ ） （图2） 解析：方程即， 令 由条件可在同一坐标系中画出两函数的大 致图象（如图2）. 易知，且直线与曲线相交于，与曲线相切于，当. 所以故选 (D). 评注：①若令，则的图象不易画出，故将方程变形为 ，读者注意体会；②的几何意义即函数图象上的点与原点O连线的斜率；③由于点B为切点，故又可用导数表示B点处切线的斜率. 3.转化为点到直线的距离 例3 用符号“”表示集合中的最小元素，如设集合，则= . ( 图3 ) 解析：设，则点A在直线上，点B在圆 上，。因为圆心O到直线的距离为（如图3） 所以=9. 评注：①赋予的几何意义：与圆 的距离的平方；②由于当A、B不好“控制”，因此利用数形结合将其转化为圆心（定点）到直线的距离来解. 4.转化为直线在坐标抽上的截距 （图4） 例4 在如图4所示的的可行域内（△ABC围成的区域且包括边界），若目标函数取得最小值的最优解有无数个，则 . 解析：把看成直线的横截距，由数形结合易知在取得最小值的最优解有无数个时，直线为AC所在直线.由 评注：由于直线的纵截距中含参数，而横截距为（不含），故利用横截距来解比较简单，请读者细心体会. 二、构造方程，利用方程的曲线解题 例5求实数的取值范围. 解析1: ，故的图象是半圆C（如图5）.表示半圆C在直线的下方，所以圆心到直线的距离由数形结合得 （图5） （图6） 解析2： ，令和 ，由,它表示上半圆C（如 图6）.由知半圆C在直线的下方，所以圆心到 直线的距离； 由数形结合得 评注：解析1构造出定直线与动半圆，而解析2构造定半圆与动直线，读者要细心体会. 三、转化为 “三个二次”问题，利用二次函数图象解题 这里“三个二次”指二次函数、（一元）二次方程和（一元）二次不等式. 例6 已知对任意正数都有恒成立，求的取值范围. 解析：，令则得，令，则在上恒成立.所以函数的大致图象如图7或图8. （图8） （图7） 由图7得 由图8得 综上得. 评注：本题虽然用基本不等式 解决要简单一些，但配凑 “”时需要一定的观察能力与技巧.然而将不等式两边除以后作的代换，其思路是将“二元”化“一元”（消元思想），进而转化为一个用二次函数图象来解的“常规问题”. 四、构造“几何模型”，利用几何性质解题 （图9） 例7 已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则的取值范围是__________