函数定义域的挖掘及其应用-江苏省东台市富腾学校.doc

函数定义域的发掘及其应用 江苏省东台市富腾学校 姜治国 摘要：函数的定义域作为函数中最重要的性质，在解决函数问题中体现“定义域优先”原则，所以，归纳函数定义域的应用问题还是有价值的．以下就函数定义域在函数中、解方程、解不等式、判断函数奇偶性、与值域的对应关系、求复合函数的定义域、应用、求函数单调区间、求轨迹方程以及导数等问题中的应用作了说明及举例． 关键词：函数 定义域 复合函数 导数 我们知道，函数作为高中数学的主线，贯穿于整个高中数学的始终．函数的定义域是构成函数的三大要素之一，函数的定义域(或变量的允许值范围)似乎是非常简单的，然而在解决问题中不加以注意，常常会使人误入歧途．在解函数问题时强调定义域对解题结论的作用与影响，对提高学生的数学思维品质是十分有益的．下面就函数定义域在函数中的作用作一些捉襟之见，以??给各位的教学研究起着推波助澜的作用． 一、定义域在解决函数问题中的直接应用 在函数的考查中，有部分题目是函数定义域的直接应用，下面列举一些常见的类型作个说明： 类型一：直接求函数的定义域； 例1（07年，上海）函数的定义域是_________． 分析：这属于直接求下列函数的定义域，在高考中处于试卷的前面，是容易题．求函数定义域的本质就是解不等式或不等式组，因此，先找出使解析式有意义的不等式（组）是关键，进而解此不等式（组），得出函数的定义域．本题易得起答案为且． 类型二：给出函数的定义域，求参数的取值范围； 例2（07年，重庆理13）若函数的定义域为，则的取值范围为__________． 分析：∵的定义域为，∴对一切都有恒成立，即恒成立，∴成立，即，解得． 类型三：抽象函数中定义域的应用． 例3设定义域为的函数，满足且时，，解不等式． 分析：解此题的关键是：通过函数单调性定义的可逆性将函数值之间的大小关系转换为自变量或自变量函数式之间的大小关系，从而通过解不等式或不等式组求解．而所给出的函数又是抽象函数，故须通过赋具体值的方法，推证出函数的单调性，从而达到目的． 在中，令，得，∴． 设，则，∴，∴，故在． 二、函数定义域在解方程、不等式中的应用 例4（06年，辽宁）方程的解是_________． 分析：原方程转化为，即， ，∴．注意到，∴原方程的解为． 例5解不等式：． 分析：找出函数值与函数值之间的大小关系，应用单调函数定义的可逆性．原不等式变形为， ，，解得或．其实，对对数不等式，还应注意对数有意义，即且，解得，因此正解应为． 三、函数定义域在判断函数奇偶性问题中的应用 例6若，则是( )　 A.奇函数且不是偶函数　　　　　　B.偶函数且不是奇函数　 C.既是奇函数又是偶函数　　　　　D.非奇非偶函数　 分析：∵函数的定义域是，不关于原点对称，故该函数是非奇非偶函数，选D． 四、值域对定义域的反对应作用 例7若一系列函数的解析式相同，值域相同，定义域不同，称这些函数为——同族函数。那么，函数的解析式为，值域为的同族函数共有________个． 分析：其定义域可以是：、、、、、、、、共9个，也可以利用组合数得到． 五、复合函数中函数定义域的发掘 在复合函数中，函数的定义域的发掘是学生的易错点。在讲解复合函数与映射的关系时就应讲清、讲透，并加强练习，这样才能给学生留下深刻的印象。 类型一：给出函数的定义域，求函数的定义域。其解法步骤是：若已知函数的定义域为，则其复合函数的定义域应由不等式解得。 例8（05年，南京模拟）已知函数，则函数的最大值为__________． 分析：由题意，得，化简，有．由，可以得知．而函数在区间上是递增函数，于是，当时，． 类型二：给出的定义域，求的定义域，其解法步骤是：若已知的定义域为，则的定义域是在时的取值范围。 例9已知函数的定义域为，则函数的定义域是________． 分析：解决这类问题应使用“换元法”： 函数的定义域为，即在中。令，于是中，．∴函数的定义域为． 类型三：次类问题为前两种问题的引申． 例10已知函数的定义域为，求函数的定义域． 分析：这里的定义域是函数中的范围，而不能看成是这个式子的范围．求函数的定义域，是求式子中的范围．这里绝不能将前后两个看成是相等的量，但是与都是对应法则的作用对象，因此，它们的范围是一致的． 故设，∵，∴，即函数的定义域为．再设，则，∴，∴函数的定义域为． 六、复合函数定义域在求函数单调区间中的应用 例11函数的单调增区间为__________． 分析：令，在由复合函数单调增，即求的单调减区间，而的单调减区间为．注意到复合函数有意义时，，解得或，从而得出函数的单调增区间为． 此类问题中主要考查复合函数的单调性，基本初等函数单调区间与定义域，解不等式等数学知识，解此类题时，注意单调区间和定义域的联系，定义域不一定