如何将抽象函数形象化.doc

如何使抽象函数不抽象 四川省苍溪中学校 伍志敏 从教高中数学多年,发现学生对抽象函数的理解较差,接受能力较弱，从而使学生产生对高中数学不感兴趣。这就需要我们在从教中让学生形象地理解抽象函数,这就需要我们把抽象的知识形象化,只有这样才能激发起学生的学习数学的兴趣。下面就以抽象函数如何形象化作个人的见解，望同仁指正。 首先让我们来解决抽象函数的定义域，首先要强调一下函数的定义域是指自变量的取值范围。下面我就以实例来说明如何解决抽象函数的问题。 一．抽象函数的定义域的求法。 我们知道函数的定义域为，求的定义域。 对于此类题型我们采用的方法是先求出，再求定义域为。从上述实例中我们不难发现，后一个函数的范围与前一个函数的范围一样，于是我们可以得出这样的结论，知道了的定义域，要求的定义域，它的求法是的值域与前者的范围一样。如将实例1中改求的定义域，方法一：由，则，所以的定义域为；方法二：因为，所以，很显然它的定义域为。从上述实例1的展示我们可以看出只要我们知道了的定义域，就可以用方法1求出函数的定义域。 (1)类型一：知的定义域求，方法是用去替换的范围。 例1：设的定义域是[-1，4]求的定义域。 解：∵的定义域为[-1，4] ∴ 得 ∴即求定义域为f（x）或 (2)类型二：知的定义域求，方法是用去替换的范围。 例2：已知的定义域为[-3，2]，求的定义域。 解：∵-3≤x≤2 ∴0≤≤9 ∵-2≤≤7 ∴f（x）的定义域为[-2，7]。 (2)类型三：知的定义域求，方法是用去替换的范围。 例3：若f（3x+2）的定义域为[1，3]，则f（）的定义域为_________。 解：令u=3x+2 ∵1≤x≤3 ∴5≤u≤11 ∴5≤u=≤11 ∴或 ∴f（）的定义域为。 例4：设f（x）的定义域是[0，1]，则函数的定义域。 解：由题意可知得定义域为. 二．抽象函数自变量的取值范围求法。 抽象函数自变量的取值范围求法，主要是抓住函数的单调性的三层意思来推导，这三层意思为①自变量的大小（）②函数值的大小（或）③函数的单调性（在定义域上为单调增（减））；可见由②③可以推出①，这便是抽象函数的解法步骤。 例1：已知函数对任意的都??，并且当x0时，。 （1）求证：在R上是增函数； （2）若解不等式。 解：（1）证明：任取则 == 由 ∴ 即，故函数在R上是增函数。 注：解决此问题时一定要抓住当x0时，这一条件，然后从此下手来证明单调性。 （2）由可知，∴ 所以不等式可化为 ∵在R上是增函数。 ∴ ∴不等式的解集为。 注:第二问在解决时，一定要抓住要想脱去“”，则要使等式左右两边为单一的“”，然后利用函数的单调性。 例2：定义在R上的函数，当x0时，1，且对任意的。 (1)求证： (2)求证：恒大于0 (3)求证： 解：（1）取由 。 （2）令-x=y，由得 ∴，∴，∵当x0时，1， ∴，，∴恒大于0。 （3）任取，且， ∴，∵当x0时，1，∴，∴， ∴，∴ 注：此类型问题在解决时，一定要抓住题中的已知条件去构造条件，才能证明函数的单调性。 跟踪训练： 1. 求证：（1） （2） 参考答案： （1）证明：令 又∵∴ （2）解：∵ ∴ 在R+上增函数。 ∴原不等式与不等式组，解得3x≤4 特别强调：函数的取值范围，一定要在条件下，最后利用函数的单调性。（不知要证明） 上面是两种抽象函数的处理方法，希望能对抽象感觉困难的同学带来帮助，也希望有什么不足之处，请同仁指正。