底数化小幂形显现姓名孙网荣地址江苏省华罗庚中学邮编.doc

底数化“小” “幂形”显现 姓名：孙网荣 地址：江苏省华罗庚中学 邮编：213200 e-mail:jtsunwr@126.com 正确科学的进行指、对数的运算是进一步研究指数函数、对数函数、幂函数的前提，明确其算理至关重要.本文就指数幂的运算提出一些策略和想法. 一、对无条件化简求值的解题策略 【例1】（1）计算： （2）化简：. 【分析】根式、指数幂的化简是进一步研究三个基本初等函数性质的前提，为此，应熟练掌握其运算性质：如Q)、、N* 且、、Q）、、 Q)、 Q）等. 【解】（1）原式 （2）原式= . 【评注】一般地，进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序.为能更好地寻找规律，应把底数尽量地化“小”，这样，更易利用公式：，便于化简求值.特别是在研究可化为二次函数的题型中尤其显得重要.例如：关于的方程R）有实数解，则实数b的取值范围是 .本题只须将化为，然后令，问题就转化为求函数在时的值域. (答案：) 二、对有附加条件化简求值的解题策略 【例2】已知，求的值. 【分析】本题是有附加条件的化简求值问题，这类问题应多观察所求与已知的关系，特别是已知条件中的含未知数的两项的倒数关系值得我们加以足够的重视. 【解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴. 【评注】已知条件其实是给出了关于的一个方程，从理论上讲，可通过解方程得到的值，然后直接代入即可求解，但较繁琐；故应先化简变形，创造条件，采用“整体代入”的思想方法简化运算.这种方法的使用在最近高考或模拟中经常遇到.如09年华罗庚中学一模中就有这样一道题：设，则的最小值为 它的解题思路是：首先“化小”，即把化为，化为；然后通过换元法整体代换，令，原问题转化为求函数 在上的最小值这种简单题型. 三、对于幂、指、对之间的互相转化问题的解题策略 【例3】已知 ，求解关于方程： 【分析】这其实是解两个方程的问题，未知数一个出现在“底数”位置，一个出现在“指数”位置.求解方程的实质是通过运算规律，最终把含未知数的项“系数化为1，次数化为1”.因此，要解决本题，需十分清楚幂、指、对之间的互相转化. 【解】 解法1：由，得， 方程的解为. 解法2：由，得 . 【评注】指数形式的方程其实就是下面三种形式的相互转化：.在解方程、不等式时常常需要用到两个化同底的公式：.这对研究指、对数函数的性质至关重要. 总之，有关指数形式的运算问题，应掌握下列原则：遇根式化分数指数幂、遇“底”不同的先“化小”再求“同”.这样就可把较复杂的问题转化为更易解决的题型. 【巩固提高】 1、化简的值等于__________ 2、已知函数，且，则= 3、已知，求函数的最大值和最小值. 【参考答案】1、16 2、12 3、