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「超幾何積分と虚サイクル」沼津 2012. 　　 青本和彦 1 超幾何積分の定式化 まず記号を導入する。 n Pk(x) (1 ≤ k ≤ m) を変数 x = (x1, . . . , xn) ∈ C について次数 degPk = m lk 0 の多項式する。λ = (λ1, . . . , λm) ∈ C に対し乗法関数 ∏m λk Φλ(x) = Pk(x) k=1 が定義されているものとする。我々は次のような解析的な積分 ∫ Jλ(?) = Φλ(x)?(x)dx1 ∧ · · · ∧ dxn (1) z の構造を理解することを目的とする。∪ n ? m { } M = C D, D = k=1 Pk = 0 とおく。M はアフィン多様体であ L L L? L る。Φ に付随する局所系∑ = λ またその双対局所系を = ?λ で表す。 m dPk 対数微分型式 ω = λk による共変微分 ?ψ = dψ + ω ∧ ψ に付 k=1 Pk 随する捩じれ de Rham コホモロジー ? · ? ⊕n p · ? H?(M, ? ( D)) = p=0H?(M, ? ( D)) (2) が定義される。ここで ?·(?D) は M において正則、D に沿って高々極を 持つような有理的微分型式の空間を表す。 Grothendieck-Deligne の定理によれば ? ～ ? · H (M, L) = H?(M, ? (?D)) (3) が成り立つ。 さらに 　“ M および　 λ が　 generic である” という条件のもとで次の消滅定理 (松島?村上 型定理) 1 Proposition 1 p ～ H (M, L) = {0} (0 ≤ p ≤ n ? 1) (4) が成り立つ。 その結果として Corollary 2 dim Hn(M, ?·(?D)) = (?1)nEu(M) (5) ? ∈ ?0(?D) をとるとき、積分 (1) は n 次元コホモロジーと???モロジー の双対関係： n · ? H (M, ? (?D)) ? Hn(M, L ) ?→ C (? , z) ?→ Jλ(?) として表現される。 m ν = (ν1, . . . , νn) ∈ Z ? {0} をとり固定する。 0 0 n λ = λ + Nν (λ ∈ C (固定)), N ∈ Z0 に対して ∫