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7 第1章 差分法の基礎 松元亮治 (千葉大理) この章では流体?磁気流体方程式を差分法を用いて数値的に解く際に必要になる基礎的事項に ついて解説する。波の伝播をあらわす線形移流方程式や非線形の Burgers 方程式をとりあげ、 差分解法の数値的な安定性や数値振動について論じる。特に、数値的な安定性に優れ、非物理 的な数値振動を起こさない差分法として風上差分法を紹介する。 1.1 偏微分方程式の型 流体?磁気流体現象をはじめとする自然現象の多くは、以下の 2 次元 2 階偏微分方程式で記 述される。 ?2u ?2u ?2u ?u ?u a + b + c + d + e + fu+ g =0. (1.1) ?x2 ?x?y ?y2 ?x ?y この方程式は以下のように分類できる。 条件　　　　　　　　 型　　　　　　　 　　　　　　例　　　 2 2 ? u 2 ? u b2 ? 4ac 0 双曲型 ? c =0 波動方程式 ?t2 ?x2 ?u ?2u b2 ? 4ac =0 放物型 = κ 熱伝導方程式 ?t ?x2 ?2u ?2u b2 ? 4ac 0 楕円型 + =4πGρ ポアソン方程式 ?x2 ?y2 波動方程式、熱伝導の式、ポアソン方程式は、それぞれ双曲型、放物型、楕円型偏微分方程 式の例になっている。以下では主として双曲型方程式を例にして、差分近似にもとづく偏微分 方程式の数値解法を解説する。 8 第 1 章 差分法の基礎 1.2 差分近似 変数 u が空間座標 x, y に依存するという 2 次元問題を考える。 (i, j+1) y (i-1, j) (i, j) (i+1, j) ?y ?x (i, j-1) x 図 1.1: 2 次元メッシュの図 2 次元空間を図のような格子に区切り、各格子点の座標を (xi,yj) とする。格子間隔は x 方向 が ?x、y 方向が ?y とする。xi±1 = xi ± ?x、yj±