)ü1MüwéJTopicsofdiscretesolitonequations1xat.pdfVIP

RIMS K?oky?uroku Bessatsu B30 (2012), 137–143 差分ソリトン方程式の話題 Topics of discrete soliton equations 神戸大学?理学部数学科　太田 泰広 (Yasuhiro Ohta) Department of Mathematics, Kobe University There are various methods to discretize soliton equations. One of them is the way of constructing discrete equations satis?ed by discrete analogues of the solutions for continuous equations. We brie?y explain basic ideas and some topics of such discretization of soliton equations. 1 はじめに 通常、微分方程式の差分化は、数値解析の分野において微分方程式を近似するため に行われることが多い。一方、可積分系の分野においては、差分化は可積分系自体を 研究する目的で行われるのが普通である。目的意識の違い故に、構成される差分??? 程式は異なる特徴をもつことになる。本稿では、可積分系における差分化の方法の うち、解の構造を保存することを主導原理とする方法について、基本的な考え方を 概説し、得られる差分方程式の特徴について触れる。また、ホドグラフ変換によって 導出されるソリトン方程式の場合について、Camassa-Holm 方程式を例にとり、可 積分な差分化によって差分格子点の運動方程式が得られることを解説する。 2 ソリトン方程式の差分化 数値シミュレーションをすることを目的として微分方程式を差分化する場合、差分 スキームとその解が、元の微分方程式とその解のもつ性質を正しく受け継いでいる ことが重要である。どのような性質に注目するか、どのような現象を再現したいか によって、差分化のための様々な方法があり得るであろう。微分方程式とその解に ついて、保存則とか解の特異性などの何らかの情報をあらかじめ知っていれば、そ れらの知識はより良い差分スキームを考える上で重要な指針になると考えられる。 ソリトン方程式のような可積分系の場合には、幸か不幸か、方程式や解について非 常に多くの知見が得られている。保存量、対称性、Hamilton 形式、Lax 対、B¨acklund 変換、Painlev′e 性、様々な特解など、差分化のための指針となる情報が多数知られ ており、これらの情報に基づいて差分化を行うことができることは、微分方程式の 解を正しく記述する差分方程式を構成する上で有利である。その反面、これらの情 報をたくさん使えば使うほど、その差分化の方法は可積分な場合に限定されたもの となるので、非可積分な微分方程式に対しては応用が利かなくなるであろう。そも そもソリトン方程式系は可積分であり解が求まってしまうので、それ自身を数値シ ミュレーションする必要はない。可積分系の分野における差分化の目的──離散可 積分系を構成し、その構造や性質を研究すること──は、通常の差分スキームの研 究における目的意識からは乖離したもののように思われる。 ここでは話を可積分系に限定し、どのような考え方に沿って差分化が行われるの かを概観し、通常の差分化との違いを観察しよう。ソリトン方程式の可積分性を保 つような差分化にも様々な方法があるが、解の構造を保つような差分化はその一つ ?c 2012 Research Institute for Mathematical Sciences, Kyoto University. All rights reserved. 138 太田泰広 である [1]。連続のソリトン方程式の特解をたくさん求めておいて、その特解の