05-2015-プレート半無限 分法.pdfVIP

地球惑星内部物理学演習Ｂ 資料５ 数値計算による偏微分方程式の解 その 2 差分法による偏微分方程式の数値解法 偏微分方程式に出てくる微分係数の計算を有限差分で置き換えて解く方法を差分法とい う。フーリエ級数を使う方法と比べると、変数分離できない場合や、境界条件が周期的 でなく複雑な場合にも利用することが出来る。 1. 偏微分方程式の型と解法 楕円型：ポワソン方程式など 境界値問題。離散化して得られる連立一次方程式を解く。 放物型：熱伝導方程式(拡散方程式)、移流(対流)?拡散方程式（非圧縮粘性流れ） 初期値問題。現在のタイムステップの値を使って、繰り返し直後の値を求める。陽解法 では連立一次方程式を解くことなしに直接値を決められる。他に比べて解くのが楽。 双曲型：移流方程式（超音速流れ）、波動方程式 初期値問題。数値的に不安定になりやすく解法に工夫が必要。 2. 物質の輸送を表す微分方程式 生成?消滅 拡散 移流?拡散 , 3. 離散化の方法 空間の偏微分を離散化する方法には主に以下３つの方法がある。 ?有限差分法 (FDM) 物体を点の集まりと考え、テイラー展開に基づいて、微分を差分に置き換え、差分方程 式を作る。 ?有限体積法 (FVM) 物体を小さな箱（有限体積）に分け、体積での保存則を満たすように積分で表した保存 則の式を離散化して差分方程式に置き換える。 ?有限要素法 (FEM) 物体を小さな要素に分け、要素内部で求める関数を２次式などの次数の低い多項式で近 似して表す。多項式の係数を微分方程式に適合するように最小二乗法などで決める。 他にも、粒子法やスペクトル法がある。時間方向の離散化にはどの方法で差分法を用い 41 地球惑星内部物理学演習Ｂ 資料５ る。 4. 定常解を解く問題：境界値問題 定常状態の解を求める場合には時間微分をゼロと置いた式、 を離散化する。この場合は、解が境界条件だけで決まる。離散化した式は連立一次方程 式となり、すべての点に対する値が同時に求められる。 離散化方程式の求め方 拡散(熱伝導)方程式を考える。 ここで、空間、時間の刻み幅を一定とし、それぞれ、Δx, Δt で表す。 1. 差分法 テイラー展開を用いて、それぞれの偏微分係数を差分商で表して、それを組み合わせ る。 (1) (2) １階微分 (1)? (2)? (1)-(2) ２階微分 (1)+(2) 時間微分を前進差分にとると、差分方程式は