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49 第 6 章 拡散方程式 これまで扱ってきた Fourier 級数は拡散方程式とは密接な関係がある. 拡散方程式を解 くために Fourier は Fourier 級数の概念を導入したといわれている. 一方, 拡散方程式は 波動方程式と並んで地球惑星科学における様々な現象の素過程を記述する方程式の代表的 なものである. 本章では 1 次元空間の拡散方程式を取り上げ, その導出や拡散方程式が持 つ性質, Fourier 級数?Fourier 変換の応用としての拡散方程式の解法を解説する. 6.1 拡散方程式の導出 本節では確率的な考え方から, 拡散方程式の導出を行う. 1 次元空間を ?x の間隔で離散化し, 各格子点上にはある物理量 C(x, t) が割り当てら れているものとする. ここで, x = m?x (m は整数) である. いま, 時刻 t から t + ?t の 間に, 各格子上の物理量が隣の格子に確率的に飛び移ることを考える. （図 6.1 参照） 1 1 2 2 ?x C(x) x 図 6.1 拡散現象の確率論的モデル 飛び移りは等方的であるとする. 即ち, x にあった物理量は ?t の間に, 1/2 の確率で x + ?x に, 1/2 の確率で x ? ?x に飛び移るものとする. このとき t + ?t における格子 50 第 6 章 拡散方程式 x 上の物理量 C(x, t + ?t) の期待値は, 1 1 C(x, t + ?t) = C(x + ?x, t) + C(x ? ?x, t), (6.1) 2 2 と表現できる. (6.1) の右辺第 1 項は, 時刻 t において注目している格子点 x の右隣の格 子点に存在していた C が確率 1/2 で時刻 t + ?t に x に飛び移ってくることを表し, 一 方, 右辺第 2 項は, 時刻 t において注目している格子点 x の左隣の格子点に存在していた C が確率 1/2 で時刻 t + ?t に x に飛び移ってくることを表している. ここで, 物理量 C の値もその期待値も同じ記号で示した. ?x, ?t が小さいとして, (6.1) の各項を Taylor 展開し, 整理すると, ?C ( ) 1 ?2C ( ) ?t + O (?t)2 = (?x)2 + O (?x)3 (6.2) ?t 2 ?x2 ( ) ( ) を得る. ここで O (?t)2 , O (?x)3 を無視し, (6.2) を整理すると, 1 次元の拡